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第九節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
1.以二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中,既有選擇題、填空題,也有解答題,難度適中,屬中檔題.
2.高考對一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個(gè)命題角度:
(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題;
(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù).
[例1] (1)(2013陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________m.
(2)(2011湖北高考
2、)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
①當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;[來源:]
②當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時(shí))
[自主解答] (1)設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y,則由相似三
3、角形性質(zhì)可得=,解得y=40-x,所以面積S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0
4、間[20,200]上取得最大值.
綜上,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333,[來源:]
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/時(shí).
[答案] (1)20
一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略
(1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型.解決此類問題應(yīng)注意三點(diǎn):①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決,但一定要密切注意函數(shù)的定義域,否則極易出錯(cuò);②確定一次函數(shù)模型時(shí),一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定,常用待定系數(shù)法;③解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí),最后要還原到實(shí)際問題.
(2)以分段函數(shù)的形式考查.解決此類問題應(yīng)關(guān)注
5、以下三點(diǎn):①實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系,應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解;②構(gòu)造分段函數(shù)時(shí),要力求準(zhǔn)確、簡潔,做到分段合理、不重不漏;③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).
1.(2013上海高考)甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10),每一小時(shí)可獲得的利潤是100元.
(1)求證:生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a元;
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
解:(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是 小時(shí)
6、,
∵每一小時(shí)可獲得的利潤是100 元,[來源:]
∴獲得的利潤為100 元.
因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100 a元.
(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90 000元,1≤x≤10.
設(shè)f(x)=-++5,1≤x≤10.
則f(x)=-32++5,當(dāng)且僅當(dāng)x=6取得最大值.
故獲得最大利潤為90 000=457 500元.[來源:]
因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn),可獲得最大利潤457 500元.
2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸
7、的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷
這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
解:(1)由圖象可知:
當(dāng)t=4時(shí),v=34=12,
∴s=412=24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時(shí),s=t3t=t2;
當(dāng)10
8、t-20)2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上,可知s=
(3)沙塵暴會侵襲到N城.
∵t∈[0,10]時(shí),smax=102=150<650,
t∈(10,20]時(shí),smax=3020-150=450<650,
∴當(dāng)t∈(20,35]時(shí),令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40.
∵20
9、萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.
[自主解答] (1)由已知條件得C(0)=8,則k=40,
因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+10+-10
≥2 -10
=70(萬元),
當(dāng)且僅當(dāng)6x+10=,
即x=5時(shí)等號成立.
所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí),總
10、費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值,最小值為70萬元.
【方法規(guī)律】
把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型一定要過好的三關(guān)
(1)事理關(guān):通過閱讀、理解,明確問題講的是什么,熟悉實(shí)際背景,為解題找出突破口;
(2)文理關(guān):將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系;
(3)數(shù)理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中,對已知數(shù)學(xué)知識進(jìn)行檢索,從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.
(2014杭州模擬)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室,在溫室內(nèi),沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地,當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí),蔬菜的種植面積最大?最大面積是
11、多少?[來源:]
解:設(shè)溫室的左側(cè)邊長為x m,
則后側(cè)邊長為 m.
∴蔬菜種植面積
y=(x-4)=808-2(40).
(1)如果m=2,求經(jīng)過多長時(shí)間,物體的溫度為5攝氏度;
12、
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.
[自主解答] (1)若m=2,
則θ=22t+21-t=2,
當(dāng)θ=5時(shí),2t+=,
令2t=x(x≥1),則x+=,
即2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),此時(shí)t=1.
所以經(jīng)過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度.
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度,
即θ≥2恒成立,
亦m2t+≥2恒成立.
亦即m≥2恒成立.
令=y(tǒng),則0
13、)指數(shù)函數(shù)模型,常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查,在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決;
(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí),關(guān)鍵是對模型的判斷,先設(shè)定模型,再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證,確定參數(shù),從而確定函數(shù)模型;
(3)y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
一個(gè)人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL,那么,此人至少經(jīng)過________小時(shí)才能開車.(精確到1小
14、時(shí))
解析:設(shè)經(jīng)過x小時(shí)才能開車.
由題意得0.3(1-25%)x≤0.09,
∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5.
答案:5
—————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)防范——實(shí)際問題的定義域
要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍,合理確定函數(shù)的定義域.
1個(gè)步驟——解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟
(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;
(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,利用數(shù)學(xué)知識,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;
(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;
(4)還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義.
以上過程用框圖表示如下:
答
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