《高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第5章第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項和》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第5章第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項和(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
高考真題備選題庫
第5章 數(shù)列
第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
考點一 等比數(shù)列的通項公式
1.(2013廣東,5分)設(shè)數(shù)列{an}是首項為1,公比為-2的等比數(shù)列,則a1+|a2|+a3+|a4|=________.
解析:本題主要考查等比數(shù)列通項等知識,意在考查考生的運算求解能力.依題意得a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,所以a1+|a2|+a3+|a4|=15.
答案:15
2.(2013北京,5分)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=________;前n項和Sn=________.
2、
解析:本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識,意在考查考生的計算能力.
由題知解得
故Sn==2n+1-2.
答案:2 2n+1-2
3.(2011遼寧,5分)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為( )
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:由anan+1=16n,得an+1an+2=16n+1,
兩式相除得,==16,∴q2=16,
∵anan+1=16n,可知公比為正數(shù),∴q=4.
答案:B
4.(2010遼寧,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q=( )
A.3 B.4
3、
C.5 D.6
解析:,①-②得:3a3=a4-a3,4a3=a4,q==4.
答案:B
5.(2012新課標全國,5分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=________.
解析:由S3+3S2=0,即a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,即4a1+4a2+a3=0,即4a1+4a1q+a1q2=0,即q2+4q+4=0,所以q=-2.
答案:-2
6.(2011廣東,5分)已知{an}是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=________.
解析:由題意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-1.又{an}單調(diào)遞增,
4、得q>1,∴q=2.
答案:2
7.(2011新課標全國,12分)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{}的前n項和.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a=9a2a6得a=9a,所以q2=.由條件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=.
故數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=
-(1+2+…+n)=-.
故=-=-2(-).
++…+=-2
5、[(1-)+(-)+…+(-)]=-.
所以數(shù)列{}的前n項和為-.
考點二 等比數(shù)列的前n項和
1.(2013江西,5分)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________.
解析:本題主要考查等比數(shù)列的概念與前n項和等基礎(chǔ)知識,考查實際建模的能力以及分析、解決問題的能力.設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an},由題意可知它是等比數(shù)列,且首項為2,公比為2,所以由題意可得≥100,即2n≥51,而25=32,26=64,n∈N*,所以n≥6.
答案:6
2.(2013遼寧,5分)已知等比數(shù)列{an
6、}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=________.
解析:本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式,意在考查考生對等比數(shù)列公式的運用,以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況.由題意得,a1+a3=5,a1a3=4,由數(shù)列是遞增數(shù)列得,a1=1,a3=4,所以q=2,代入等比數(shù)列的求和公式得S6=63.
答案:63
3.(2013湖北,13分)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合
7、條件的所有n的集合;若不存在,說明理由.
解:本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,也考查了分類討論思想.
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則a1≠0,q≠0.由題意得
即
解得故數(shù)列{an}的通項公式為an=3(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
若存在n,使得Sn≥2 013,則1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.
當n為偶數(shù)時,(-2)n>0,上式不成立;
當n為奇數(shù)時,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,則n≥11.
綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為
8、{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
4.(2010廣東,5分)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項和.若a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5=( )
A.35 B.33
C.31 D.29
解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,a2a3=aq3=a1a4=2a1?a4=2,a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3=2?q=,
故a1==16,S5==31.
答案:C
5.(2010浙江,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,8a2+a5=0,則=( )
A.-11 B.-8
C.5 D.11
解析:設(shè)等比
9、數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),依題意知8a1q+a1q4=0,
a1≠0,則q3=-8,故q=-2,所以===-11.
答案:A
6.(2010遼寧,5分)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5=( )
A. B.
C. D.
解析:顯然公比q≠1,由題意得,,
解得,
∴S5===.
答案:B
7.(2012江西,5分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比不為1.若a1=1,且對任意的n∈N+都有an+2+an+1-2an=0,則S5=________.
解析:由an+2+an+1-2an=0,得anq2+
10、anq-2an=0,顯然an≠0,所以q2+q-2=0.又q≠1,解得q=-2.又a1=1,所以S5==11.
答案:11
8.(2011北京,5分)在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=4,則公比q=________;a1+a2+…+an=________.
解析:a4=a1q3,得4=q3,解得q=2,a1+a2+…+an==2n-1-.
答案:2 2n-1-
9.(2009浙江,4分)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=,前n項和為Sn,則=________.
解析:a4=a1()3=a1,S4==a1,
∴=15.
答案:15
10.(2012陜西,12分)已知等比數(shù)列{an
11、}的公比q=-.
(1)若a3=,求數(shù)列{an}的前n項和;
(2)證明:對任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差數(shù)列.
解:(1)由a3=a1q2=及q=-,得a1=1,
所以數(shù)列{an}的前n項和Sn=
=.
(2)證明:對任意k∈N+,
2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1),
由q=-得2q2-q-1=0,故2ak+2-(ak+ak+1)=0.所以,對任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差數(shù)列.
11.(2009山東,12分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N*,點(n,
12、Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值;
(2)當b=2時,記bn=2(log2an+1)(n∈N*).
證明:對任意的n∈N*,不等式…+>成立.
解:(1)由題意,Sn=bn+r,
當n≥2時,Sn-1=bn-1+r,
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),
由于b>0且b≠1,
所以n≥2時,{an}是以b為公比的等比數(shù)列,
又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,
即=b,解得r=-1.
(2)證明:法一:由(1)知an=2n-1,
因此bn=2n(n∈N*),
所證不等式為…>.
①當n=1時,左式
13、=,右式=,
左式>右式,所以結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,
即…>,
則當n=k+1時,
…
>=,
要證當n=k+1時結(jié)論成立,
只需證≥,
即證≥,
由均值不等式=≥成立,故≥成立,
所以,當n=k+1時,結(jié)論成立.
由①②可知,n∈N*時,
不等式…>成立.
法二:由(1)知:an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),
所證不等式為…>.
事實上,…
=…
>…
==.
故對一切n∈N*,不等式…>成立.
考點三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
1.(2013江蘇,5分)在正項等比數(shù)列{an}中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+…
14、+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________.
解析:本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì),意在考查學(xué)生的運算能力.
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).由a5=,a6+a7=3,可得(q+q2)=3,即q2+q-6=0,所以q=2,所以an=2n-6,數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-5-2-5,所以a1a2…an=(a1an)=2,由a1+a2+…+an>a1a2…an可得2n-5-2-5>2,由2n-5>2,可求得n的最大值為12,而當n=13時,28-2-5>213不成立,所以n的最大值為12.
答案:12
2.(2012新課標全國,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a
15、4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( )
A.7 B.5
C.-5 D.-7
解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由
得或所以或
所以或所以a1+a10=-7.
答案:D
3.(2012北京,5分)已知{an}為等比數(shù)列.下面結(jié)論中正確的是( )
A.a(chǎn)1+a3≥2a2 B.a(chǎn)+a≥2a
C.若a1=a3,則a1=a2 D.若a3>a1,則a4>a2
解析:設(shè)公比為q,對于選項A,當a1<0,q≠1時不正確;選項C,當q=-1時不正確;選項D,當a1=1,q=-2時不正確;選項B正確,因為a+a≥2a1a3=2a.
答案:B
4.(2010山
16、東,5分)設(shè){an}是首項大于零的等比數(shù)列,則“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,因為a1<a2,且a1>0,所以有a1<a1q,解得q>1,所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;反之,若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則公比q>1且a1>0,所以a1<a1q,即a1<a2,所以“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的充分必要條件.
答案:C
5.(2011新課標全國,12分)已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.
(1)Sn為{an}的前n項和,證明:Sn=;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項公式.
解:(1)證明:因為an=()n-1=,
Sn==,
所以Sn=.
(2)因為bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)
=-.
所以{bn}的通項公式為bn=-.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品