高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第三章 :第六節(jié)正弦定理和余弦定理回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 【考綱下載】 掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. 1.正弦定理和余弦定理[來源:] 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ===2R (R是△ABC外接圓半徑) a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C  變形 形式[來源:] ①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; ②sin A=,sin B=,sin C=; ③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; ④asin B=

2、bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A=, cos B=, cos C= 解決 三角 形的 問題 ① 已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊; ② ②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角 ①已知三邊,求各角; ②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩角 2.在△ABC中,已知a、b和A時,解的情況 A為銳角 A為鈍角或直角 圖形[來源:] 關(guān)系 式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的 個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解 3.三角形中

3、常用的面積公式 (1)S=ah(h表示邊a上的高); (2)S=bcsin A=acsin B=absin C; (3)S=r(a+b+c)(r為△ABC內(nèi)切圓半徑). 1.在三角形ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么條件?“A>B”是“cos A<cos B”的什么條件? 提示:“A>B”是“sin A>sin B”的充要條件,“A>B”是“cos A<cos B”的充要條件. 2.在三角形中,“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三角形”的什么條件?“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的什么條件? 提示:“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三

4、角形”的充分不必要條件;“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件. 1.(2013·北京高考)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,則sin B=(  ) A.    B.    C.    D.1 解析:選B 依題意,由=,即=,得sin B=. 2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,則b等于(  ) A.2 B.12 C.2 D.28 解析:選A 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 即b2=4+16-8=12,所以b=2. 3.(2013·湖南高考)在銳

5、角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由正弦定理可得,2asin B=b可化為2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=,又△ABC為銳角三角形,得A=. 4.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,則△ABC的面積為________. 解析:∵cos C=,∴sin C=, ∴S△ABC=absin C=×3×2×=4. 答案:4 5.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,則b

6、=________. 解析:由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4. 答案:4 答題模板(三) 利用正、余弦定理解三角形 [典例] (2013·江西高考)(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. (1)求角B的大??; (2)若a+c=1,求b的取值范圍. [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1.審結(jié)論,明解題方向 觀察所求結(jié)論:求角B的大小轉(zhuǎn)化為求sin B、cos B或tan B的值. 2.審條件,挖解題信息

7、觀察條件:cos C+(cos A-sin A)cos B=0A+B+C=π,cos [π-(A+B)]+(cos A-sin A)cos B=0,即sin Asin B-sin Acos B=0. 3.建聯(lián)系,找解題突破口 sin Asin B-sin Acos B=0sin B=cos Btan B=B=. 第(2)問 1.審結(jié)論,明解題方向 觀察所求結(jié)論:求b的取值范圍b2=a2+c2-2accos B. 2.審條件,挖解題信息 觀察條件:B=,a+c=1可考慮利用余弦定理建立聯(lián)系. 3.建聯(lián)系,找解題突破口 b2=a2+c2-2accos B→b2=32+求b2的范圍

8、,進而求得結(jié)論., [準確規(guī)范答題] (1)由已知得 -cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0, 即有sin Asin B-sin Acos B=0,?2分 此處易忽視對sin A≠0,cos B≠0的說明,直接得出tan B=,造成解題步驟不完整因為sin A≠0,所以sin B-cos B=0, 又cos B≠0,所以tan B=,?4分 此處易忽視B的范圍,直接得出B=又0<B<π,所以B=.?6分[來源:] (2)由余弦定理,得b2=a2+ c2-2accos B. 因為a+c=1,cos B=, 所以b2=32+. ?10分 又0<a<1,于是有≤b2<1,即≤b<1.?12分 [答題模板速成] 解三角形問題一般可用以下幾步解答: 第一步 邊角互化 利用正弦定理或余弦定理實現(xiàn)邊角互化 第二步 三角變換 三角變換、化簡、消元,從而向已知角(或邊)轉(zhuǎn)化 第三步 由值求角 代入求值 第四步 反思回顧 查看關(guān)鍵點,易錯點,如本題中公式應(yīng)用是否正確,a的取值范圍是否正確 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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