2015屆高考數(shù)學總復習 基礎知識名師講義 第二章 第十節(jié)函數(shù)與方程 文

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1、 第十節(jié)　函數(shù)與方程 1．結合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)． 2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解． 知識梳理 一、函數(shù)的零點 1．定義：一般的，如果函數(shù)y＝f(x)在________________，即 f(a)＝0，則__________叫做這個函數(shù)的零點． 2．函數(shù)的零點存在性定理：若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是________，并且在______________，即__________________，則函數(shù)y＝f(x)在________________，即相應的方

2、程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)根． 3．函數(shù)的零點具有下列性質(zhì)：當它________(不是偶次零點)時函數(shù)值________，相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號． 二、二分法 1．定義：對于區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的，且f(a) f(b)<0 的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法． 2．用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟． 第一步：________________________________________ 第二步：__________________________

3、______________ 第三步：________________________________________ (1)若_________，則x1就是函數(shù)f(x)的零點； (2)若________________，則令b＝x1； (3)若________________，則令a＝x1. 第四步：判斷是否達到精確度ε，即若________，則得到零點近似值a(或b)．否則，重復第二、三、四步． 注意：(1)在二分法求方程解的步驟中，初始區(qū)間可以選的不同，不影響最終計算結果，所選的初始區(qū)間的長度盡可能短，但也要便于計算； 2 / 6 (2)二分法的條件f(a)f(b)<

4、0表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點． 三、一元二次方程根的分布問題 關鍵是抓住方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根所在區(qū)間端點的函數(shù)值的符號、判別式及對稱軸的位置這三點來考慮． 二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0的實根分布及條件： (1)方程f(x)＝0的兩根中一根比r大，另一根比r小?af(r)<0； (2)二次方程f(x)＝0的兩根都大于r? (3)二次方程f(x)＝0在區(qū)間(p，q)內(nèi)有兩根? (4)二次方程f(x)＝0在區(qū)間(p，q)內(nèi)只有一根?f(p)f(q)<0或f(p)＝0或f(q)＝0，檢驗另一根在(p，q)內(nèi)成立． 一、1.實數(shù)a處的

5、值等于零　a　 2.連續(xù)不間斷的　區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反　f(a)f(b)<0　區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點　 3.通過零點　變號 二、2.確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε　求區(qū)間 (a，b)的中點x1　計算f(x1) (1)f(x1)＝0　(2)f(a)f(x1)< 0　(3)f(x1)f(b)<0　|a－b|<ε 基礎自測 1．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5

6、 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析：設f(x)＝ex－(x＋2)，則由題設知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，故有一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)． 答案：C 2．(2013河北名師俱樂部一模)下列函數(shù)中，在(－1,1)上有零點且單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝log2(x＋2) B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝－x2 解析：在(－1,1)上遞增的函數(shù)只有y＝log2(x＋2)和y＝2x－1，又y＝log2(x＋2)的零點為x＝－1，y＝2x－1的零點為x＝0.故選B. 答案

7、：B 3．如果函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋m＋2的一個零點是0，則另一個零點是________． 解析：依題意知：m＝－2.∴f(x)＝x2－2x. ∴方程x2－2x＝0的另一個根為2，即函數(shù)f(x)的另一個零點是2. 答案：2 4．方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，則實數(shù)a的取值范圍是___________________________________________． 解析：(法一)利用韋達定理． 設方程x2－2ax＋4＝0的兩根為x1，x2， 則解得2≤a＜. (法二)利用二次函數(shù)圖象的特征． 設f(x)＝x2－2ax＋4，則解得2≤a＜. 答

8、案： 1．(2012湖北卷)函數(shù)f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：由f(x)＝0，得x＝0或cos x2＝0，即x2＝kπ＋，k∈Z.又∵x∈[0,4]，∴k＝0,1,2,3,4.∴共有6個解．故選C. 答案：C 2．(2013天津卷)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：2x|log0.5x|－1＝0?|log

9、0.5x|＝?|log0.5x|＝x，畫這兩個函數(shù)的圖象，由圖可知選項B正確． 答案：B 1．(2012東北三省四市教研協(xié)作體調(diào)研)若a＞2，則函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)內(nèi)零點的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：f′(x)＝x2－2ax，由a＞2可知，f′(x)在x∈(0,2)恒為負，即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減．又f(0)＝1＞0，f(2)＝－4a＋1＜0，∴f(x)在(0,2)只有一個零點．故選C. 答案：C 2．(2013湛江一模)函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)； 由函數(shù)零點的定義，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的零點即是方程|x－2|－lnx＝0的根． 令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在一個坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象： 由圖得，兩個函數(shù)圖象有兩個交點， 故方程有兩個根，即對應函數(shù)有兩個零點．故選C. 答案：C 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！