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1、
第三節(jié) 圓的方程
掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程
知識梳理
一、圓的標準方程
設圓心C坐標為(a，b)，半徑是r，則圓C的標準方程是____________________．特別地，圓心為O(0,0)時，標準方程為______________________．
二、圓的一般方程
當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的________，其圓心為__________，半徑r＝__________.
一、(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
二、一般方程
基礎自測
1．方程
2、x2＋y2－4kx－2y－k＝0表示圓的充要條件是( )
A.<k<1 B．k<或k>1
C．k∈R D．k＝或k＝1
解析：因為(－4k)2＋(－2)2－4(－k)＝15k2＋(k＋2)2>0恒成立，所以k∈R. 故選C.
答案：C
2．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值為( )
2 / 6
A．8 B．－4
C．6 D．無法確定
解析：圓上存在關于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，
則直線x－y＋3＝0過圓心，
3、
即－＋3＝0，
所以m＝6.
答案：C
3．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是_____________________．
解析：AB的垂直平分線為y＝x，由
得圓心M(1,1)，故半徑r＝|AM|＝2，
所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
4．(2012·桂林模擬)已知圓C的圓心與點P(－2,1)關于直線y＝x＋1對稱．直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為__________________.
解析：圓心的坐
4、標為(0，－1)，
所以r2＝32＋＝18，
圓的方程為x2＋(y＋1)2＝18.
答案：x2＋(y＋1)2＝18
1．(2013·江西卷)若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．
解析：設圓心坐標為(2，y0)，
則解得y0＝－，r＝，
所以圓C的方程為(x－2)2＋2＝.
答案：(x－2)2＋2＝
2．在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．
解析
5、：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，
與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可設C的圓心為(3，t)，
則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，
解得t＝1.
則圓C的半徑為r＝＝3.
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
其坐標滿足方程組
消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.
從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所
6、以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.
1．(2013·汕尾二模)已知圓C的方程為：(x－2)2＋y2＝25，則過M(0,1)的圓C的對稱軸所在的直線方程為____________．
解析：由：(x－2)2＋y2＝25，得圓心C(2,0)，
又圓C的對稱軸過M(0,1)，
由直線方程的兩點式得：＝，
整理得：x＋2y－2＝0.
所以過M(0,1)的圓C的對稱軸所在的直線方程為
x＋2y－2＝0.
答案：x＋2y－2＝0
2．(2013·揭陽一模)已知圓C經(jīng)過直線2x－y＋2＝0與坐標軸的兩個交點，又經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點，則圓C的方程為__________________．
解析：拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，
直線2x－y＋2＝0與坐標軸的兩個交點坐標分別為
A(－1,0)，B(0,2)，
設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
將A、B、F三點的坐標代入圓的方程得：
解得
于是所求圓的方程為x2＋y2－x－y－2＝0.
即2＋2＝.
答案：2＋2＝
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