2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第十章 第三節(jié)坐標(biāo)系 文

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1、 第三節(jié)　坐　標(biāo)　系 知識(shí)梳理 一、平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 二、極坐標(biāo)系的概念 1．極坐標(biāo)系． 如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． 注意：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)

2、應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可．但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系． 2．極坐標(biāo)． 設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角∠xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． 一般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)． 特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)，和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示． 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點(diǎn)也是唯一確定的． 三、極坐

3、標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 1．互化條件：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示： 2．互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 在一般情況下，由tan θ確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角． 四、常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)， 1 / 4 半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓

4、 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) 過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線 (1) θ＝α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos θ＝a 過點(diǎn)，與 極軸平行的直線 ρsin θ＝a(0＜θ＜π) ,基礎(chǔ)自測 1．(2013韶關(guān)二模)在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A引圓ρ＝4sin θ的一條切線，則切線長為________． 解析：將點(diǎn)A化為直角坐標(biāo)是A(0，－2)，圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，圓心為(0,2)，半徑為2，點(diǎn)A到圓心的距離為4，所以切線長為

5、＝2. 答案：2 2．(2012粵西北九校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，過圓ρ＝4cos θ的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是________________． 解析：圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0，圓心為(2,0)，過該點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝2 3．(2013廣州二模)在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，點(diǎn)P是曲線ρsin2 θ＝4cos θ上任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線ρcos θ＋1＝0的距離為d，則|PA|＋d的最小值為____________________________． 解析：ρsin2 θ＝4cos θ的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x，它是拋

6、物線，焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＋1＝0，即直線ρcos θ＋1＝0，點(diǎn)A是直角坐標(biāo)為A(0,1)．根據(jù)拋物線的定義，d＝|PF|，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝. 答案： 4．(2012南京模擬)已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，則曲線C1，C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 解析：聯(lián)立解方程組 ρ≥0，0≤θ<，解得即兩曲線的交點(diǎn)為2，. 答案：2， 1．(2013北京卷)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 解析：極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(，1)，極坐

7、標(biāo)系直線ρsin θ＝2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y＝2，所以點(diǎn)到直線y＝2的距離為d＝1. 答案：1 2．(2013天津卷)已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|＝__________________. 解析：由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圓心C(2,0)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為P(2,2)． 由兩點(diǎn)間距離公式得|CP|＝2. 答案：2 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是_

8、___________． 答案：(k∈Z) 2．(2012肇慶二模)在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝2與cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________． 解析：(法一)將ρ＝2和cos θ＋sin θ＝0化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4和y＝－x，解得(舍去)或所以交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－，)．所以ρ＝2.因?yàn)辄c(diǎn)(－，2)在第二象限，所以θ＝， ∴交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (法二)由cos θ＋sin θ＝0得tan θ＝－1，因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝，故交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 答案： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！