2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第七章 第六節(jié)橢圓(二) 文

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1、 六節(jié)　橢　圓　(二) 基礎自測 　 1．(2012東北四校一模)已知方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(1,2) D. 解析：依題意，2k－1＞2－k＞0，解得1＜k＜2.故選C. 答案：C 2．(2013湖南郴州模擬)設e是橢圓＋＝1的離心率，且e∈，則實數k的取值范圍是(　　) A．(0,3) B. C．(0,3)∪ D．(0,2) 解析：當k>4時，c＝，由條件知<<1，解得k>； 當0

2、故選C. 答案：C 3．(2013福建卷)橢圓P：＋(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線l：y＝(x＋c)與橢圓P的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：本題考查的是圓錐曲線的離心率．由題意可知，△MF1F2中，∠MF1F2＝60，∠ 1 / 6 MF2F1＝30，∠F1MF2＝90，所以有 整理得e＝＝－1，故答案為－1. 答案：－1 4．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數是_____________． 解析：因為

3、直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒有交點，所以>2，所以m2＋n2<4. 所以點P(m，n)在橢圓＋＝1內部．所以交點個數為2個． 答案：2 1．(2013新課標全國卷Ⅱ)設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：因為PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30， 所以PF2＝2ctan 30＝c，PF1＝c. 又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，所以＝＝， 即橢圓的離心率為.故選D. 答案：D 2．(20

4、13安徽卷)設橢圓E：＋＝1的焦點在x軸上． (1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程； (2)設F1，F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上． (1)解析：因為焦距為1，所以2a2－1＝，解得a2＝. 故橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：設P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 其中c＝. 由題設知x0≠c，則直線F1P的斜率kF1P＝. 直線F2P的斜率kF2P＝. 故直線F2P的方程為y＝(x－c)． 當x＝0時，y＝，即點Q坐標為. 因此，

5、直線F1Q的斜率為kF1Q＝. 由于F1P⊥F1Q，所以kF1PkF1Q＝＝－1. 化簡得y＝x－(2a2－1)．① 將①代入橢圓E的方程，由于點P(x0，y0)在第一象限． 解得x0＝a2，y0＝1－a2. 即點P在定直線x＋y＝1上． 1．(2012長春調研)以O為中心，F1，F2為兩個焦點的橢圓上存在一點M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：易知點M在OF2的垂直平分線上，過M作x軸的垂線，交x軸于點N，則點N坐標為，并設||＝2||＝2||＝2t，根據勾股定理

6、可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，由|MF1|＋|MF2|＝2a得a＝，則e＝＝.故選C. 答案：C 2．(2013潮州二模)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左右頂點分別為A(－2,0)，B(2,0)，離心率e＝.過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|QP|＝|PC|. (1)求橢圓的方程； (2)求動點C的軌跡E的方程； (3)設直線AC(C點不同于A，B)與直線x＝2交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論． 解析：(1)由題意，可得a＝2，e＝＝， 可得c＝， 所以b2＝a2－c2＝

7、1， 因此，橢圓的方程為＋y2＝1. (2)設C(x，y)，P(x0，y0)， 由題意得即 又＋＝1，代入得＋2＝1， 即x2＋y2＝4. 即動點C的軌跡E的方程為x2＋y2＝4. (3)設C(m，n)，點R的坐標為(2，t)， 因為A、C、R三點共線， 所以∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)， 則4n＝t(m＋2)，所以t＝， 可得點R的坐標為， 點D的坐標為， 所以直線CD的斜率為k＝＝， 而m2＋n2＝4，所以m2＝4－n2， 代入上式可得k＝＝－， 所以直線CD的方程為y－n＝－(x－m)， 化簡得mx＋ny－4＝0， 所以圓心O到直線CD的距離d＝＝＝2＝r， 因此，直線CD與圓O相切，即CD與曲線E相切． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！