專題57 利用三角恒等變換解決三角函數(shù)問題(解析版)

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1、專題57 利用三角恒等變換解決三角函數(shù)問題一、單選題1已知銳角滿足若要得到函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)的圖象（ ）A向左平移個單位長度B向左平移個單位長度C向右平移個單位長度D向右平移個單位長度【答案】A【分析】由可得，代入化簡得，即可知如何平移得到.【詳解】由知：，即，銳角，故，又，故是將向左平移個單位長度得到，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：由輔助角公式化簡已知條件求銳角，根據(jù)的函數(shù)式，應(yīng)用二倍角、誘導(dǎo)公式將化為正弦型函數(shù)，即可判斷圖象的平移方式.2函數(shù)，若，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【分析】化簡得，由可知在，處取到最大值和最小值，不妨設(shè)在處有最大值，處取到最小值，可得,，,即可求出的最

2、小值.【詳解】，函數(shù)的最大值為3，最小值為1，又，在，處取到最大值和最小值，不妨設(shè)在處有最大值，則，即，處取到最小值，則，即，所以，,，所以當(dāng)時，的最小值為.【點睛】結(jié)論點睛：正弦型函數(shù)最值： ，當(dāng)， 時取最大值； ，當(dāng)， 時取最小值.3若動直線與函數(shù)與的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（ ）AB1C2D3【答案】C【分析】令，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論【詳解】令求的最大值即求函數(shù)的最大值函數(shù) 的最大值為2故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4已知函數(shù)，則的值域為（ ）ABCD【答案】B【分析】本題首先通過

3、三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后通過得出，最后通過正弦函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】，因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，即函數(shù)的值域為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)值域的求法，能否根據(jù)三角恒等變換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是中檔題.5將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（ ）ABCD【答案】B【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡 ，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱中心；【詳解】解：將向右平移個單位長度得到，的對稱中心為，當(dāng)時為.故選：B.6已知函數(shù)在上恰有5個不同的零點，則

4、實數(shù)的范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】先根據(jù)二倍角三角函數(shù)公式化簡解析式，再把問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有五個根，借助于正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】依題意，；令，即，故，而，且，故，要使得函數(shù)在上恰有5個零點，則方程在上有5個實數(shù)根，故，解得.故選：C【點睛】思路點睛：（1）先根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)個數(shù)化簡解析式，轉(zhuǎn)化為有解問題；（2）根據(jù)角的范圍，求出整體角的范圍；（3）利用正弦函數(shù)的圖象判斷得出結(jié)果.二、多選題7已知函數(shù)，則（ ）AB在區(qū)間上只有1個零點C的最小正周期為D為圖象的一條對稱軸【答案】AC【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式、輔助角公式，把函數(shù)的解析式化簡成正弦型函數(shù)解析式的形式，再結(jié)合

5、正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】.A：因為，所以，因此本選項說法正確；B：當(dāng)時，當(dāng)時，即當(dāng)時，因此在區(qū)間上有2個零點，因此本選項說法不正確；C：的最小正周期為：，因此本選項說法正確；D：當(dāng)時，顯然不是最值，因此本選項說法不正確；故選：AC8已知函數(shù)，若，使得成立，且在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值可能是（ ）ABC1D【答案】CD【分析】根據(jù)，使得成立， 結(jié)合解析式，得到，求得，得到，再結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】因為，使得成立， 所以，即，又由在區(qū)間上的值域為，則，綜上，解得 此時，因為在區(qū)間上的值域為，所以，即，當(dāng)時，所以，即.故選：CD.【點睛】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的

6、基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.9若函數(shù)滿足：對任意一個三角形，只要它的三邊長都在函數(shù)的定義域內(nèi)，就有函數(shù)值，也是某個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“保三角形函數(shù)”，下面四個函數(shù)中保三角形函數(shù)有（ ）ABCD【答案】BC【分析】欲判斷函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，只需要任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為，則，不妨設(shè)，判斷，是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)，即任意兩邊

7、之和大于第三邊即可.【詳解】解：任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為，則，不妨假設(shè)，對于，可作為一個三角形的三邊長，但，所以不存在三角形以為三邊長，故A不是“保三角形函數(shù)”；對于，由于所以B是“保三角形函數(shù)”；對于，所以C是“保三角形函數(shù)”；對于，若,由，所以D不是“保三角形函數(shù)”.故選：BC.10已知函數(shù)，關(guān)于下列說法正確的是（ ）A為奇函數(shù)B為的周期C的值域為D的單調(diào)增區(qū)間為【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇函數(shù)定義、周期函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：因為，所以不是奇函數(shù)，故本選項不正確；B：，因此的周期為，所以本選項正確；C：，顯然的值域為，所以本選項正確；D：當(dāng)且時，函數(shù)單

8、調(diào)遞增，解得且，化簡得：或，所以本選項不正確.故選：BC.三、解答題11設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角的對邊長分別為，.若，求的面積.【答案】（1），值域為（2）【分析】（1）利用倍角公式降冪，輔助角公式化簡即可求解.（2）代角求值，利用余弦定理求出邊，用三角形面積公式求解.【詳解】（1），值域為.（2）由已知得，或或，由余弦定理得，即解得【點睛】在解三角形的問題時，若已知兩邊和其中一邊所對的角，求第三邊時，可用余弦定理建立一個一元二次方程求解.12已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（

9、2）最大值為，最小值為.【分析】（1）先將函數(shù)恒等變換，化為，由得最小正周期為，再利用整體代換的方法，解不等式，求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即可求得在該區(qū)間的最小值為，再求出兩個端點值和，經(jīng)過比較可知最大值為.【詳解】解：（1），所以的最小正周期為.由，可得，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，.所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為-1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對所給函數(shù)進(jìn)行恒等變換，得到，再利用整體代換的思想求得單調(diào)區(qū)間.13已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，求的取值范圍.【

10、答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用及二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡整理為，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出函數(shù)的值域；（2）由已知得由，得，且或，結(jié)合方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，可得，解不等式可得解.【詳解】（1），令，由的圖像知，即，所以函數(shù)的值域為.（2），即，且或由于方程在區(qū)間上至少有兩個不同的解，所以，解得，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.14已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間（2）當(dāng)時，關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)根，求m的取值范圍

11、【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間整體代入即可求解.（2）將問題轉(zhuǎn)化為或共有三個不同實根，從而可得或共有三個不同交點，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）所以增區(qū)間為：，（2）因，所以或共有三個不同實根，即或共有三個不同交點，因由圖可得：且不合題意或且，即，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，由方程的根求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是得出且，考查了計算能力、轉(zhuǎn)化能力以及數(shù)形結(jié)合的思想.15已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期；（3）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【分

12、析】（1）本題將代入中進(jìn)行計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可通過兩角和的正弦公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后通過周期計算公式即可得出結(jié)果；（3）本題首先可根據(jù)得出，然后通過正弦函數(shù)性質(zhì)即可求出值域.【詳解】（1），即.（2），故的最小正周期.（3）因為，所以，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，故在上的值域為.16已知函數(shù)的最大值為1（1）求常數(shù)m的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（1）；（2），【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可求解.【詳解】（1），（2）設(shè)，又，與集合取交集可得.的單調(diào)遞增區(qū)間為，17設(shè)asin

13、xcosx，bsinx+cosx.（1）求a，b的關(guān)系式；（2）若x（0，），求ysinxcosx+sinx+cosx的最大值.【答案】（1）b21+2a；（2）.【分析】（1）將bsinx+cosx兩邊平方可得結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）bsinx+cosx，b2（sinx+cosx）21+2sinxcosx1+2a；（2）由（1），因為x（0，），所以.所以ya+b，b時，ysinxcosx+sinx+cosx的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求解是解題關(guān)鍵.18已知函數(shù)，.（1）簡述將函數(shù)的圖象變換到函數(shù)的圖象的步驟方法；（2）求的單調(diào)遞增

14、區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間和的圖象在軸右側(cè)第二個最高點的坐標(biāo).【答案】（1）答案見解析；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間，；.【分析】（1）將的解析式化為，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得答案；（2）解出不等式，可得單調(diào)區(qū)間，解出方程可得第二個最高點的坐標(biāo).【詳解】（1），第一步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，變?yōu)?，第二步：圖象上所有點向右平移個單位長度，變?yōu)?，第三步：圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮小為原來的，橫坐標(biāo)不變，變?yōu)?，第四步：圖象上所有點向上平移個單位長度，變?yōu)?；?）由，解得，由，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間，令()，得()，令，得，的圖象在軸右側(cè)第二個最高點的坐標(biāo)是19

15、設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）已知的內(nèi)角、所對的邊分別為、，且，求角的值【答案】（1）函數(shù)的值域為；（2）【分析】（1）結(jié)合三角恒等變化化簡整理得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值域即可；（2）由（1）得，由于，故，再結(jié)合正弦定理即可得.【詳解】（1）， ，函數(shù)的值域為（2），即由正弦定理，【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合三角恒等變換化簡函數(shù)得，其中第二問題的求解要注意角的范圍的討論，避免忽視角的范圍討論出錯.本題考查數(shù)學(xué)運算求解能力，是中檔題.20已知函數(shù).（1）求的最小正周期和值域；（2）若對任意，的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最小正周期，值域為；（2）.【分析】（1）利用

16、三角恒等變換進(jìn)行化簡，即可求得周期與值域；（2）設(shè)，由（1）得，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，分離參數(shù)，求取值范圍.【詳解】解：（1）的為最小正周期，值域為；（2）記，則，由恒成立，知恒成立，即恒成立，.在時單調(diào)遞增k的取值范圍是21已知函數(shù)，圖象上相鄰兩個最低點的距離為（1）若函數(shù)有一個零點為，求的值；（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡函數(shù)解析式，根據(jù)周期計算，根據(jù)零點計算；（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范圍【詳解】（1），的圖象上相鄰兩個最低點的距離為，的最小正周期為：，故是的一個零點，（2），若，則，故在，上的最大值為，

17、最小值為，若存在，使得（a）（b）（c）成立，則，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問屬于存在，使不等式成立，即轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.22已知函數(shù). （1）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有個零點?若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時，；當(dāng)時，.【分析】（1）利用三角恒等變換思想得出，令，由題意可知對任意的，可得出，進(jìn)而可解得實數(shù)的取值范圍；（2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個交點，然后對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，考查實數(shù)在不同取值下兩個函數(shù)的交點個數(shù)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時，則

18、，要使對任意恒成立，令，則，對任意恒成立，只需，解得，實數(shù)的取值范圍為；（2）假設(shè)同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有個零點，即函數(shù)與直線在上恰有個交點.當(dāng)時，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上無交點；當(dāng)或時，函數(shù)與直線在上僅有一個交點，此時要使函數(shù)與直線在上有個交點，則；當(dāng)或時，函數(shù)直線在上有兩個交點，此時函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個交點，不可能有個交點，不符合；當(dāng)時，函數(shù)與直線在上有個交點，此時要使函數(shù)與直線在上恰有個交點，則.綜上所述，存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件：當(dāng)時，；當(dāng)時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)求參數(shù)，

19、解本題第（2）問的關(guān)鍵就是要注意到函數(shù)與直線的圖象在區(qū)間上的圖象的交點個數(shù)，結(jié)合周期性求解.23已知向量，(其中，) 函數(shù)圖像的相鄰兩對稱軸之間的距離是，且過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式、輔助角公式化簡得，利用周期和點可求出和；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出.【詳解】（1） ，由題可得，即，解得，又函數(shù)過點，則，解得，；（2），即在的最小值為2，若對任意的恒成立，則，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)三角恒等變換求解析式，考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是正確利用二倍

20、角公式和輔助角公式化簡，解不等式恒成立問題只需求出的最小值即可.24已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：，；單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）.【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）由題意可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其值域.【詳解】解：（1），令，解得，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，.（2）當(dāng)時，可得，可得，故函數(shù)的值域為.25已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角，的對邊分別為，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，成等差數(shù)列，且，求的值.【答案】（1

21、）；（2）.【分析】（1）運用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角恒等變換化簡函數(shù)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）由（1）可求得角，再由向量數(shù)量積運算的定義和余弦定理可求得邊a.【詳解】（1）由題得，當(dāng)單調(diào)增時，則，的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由題得，即：，由題可知，又，又，有，.【點睛】方法點睛：在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到26已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期

22、，及函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.（2）若，求的值.【答案】（1），最大值為0，最小值為；（2）.【分析】（1）由二倍角公式和兩角差正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由（1）知，求得的范圍后求得，然后利用兩角和的余弦公式求得【詳解】（1），故的最小正周期為，當(dāng)，的最大值為0，最小值為.（2），故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查兩角和與差的正弦、余弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)解題方法是利用三角恒等變換公式化函數(shù)的一個角的一個三角函數(shù)形式（一次的）：，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解的性質(zhì)三角函數(shù)求值時要注意已知角和未知角之間的關(guān)系，以確定先用什么公式及選用公式的順

23、序計算27已知函數(shù)已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值及取最小值時的x的集合；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間【答案】（1）最小值，；（2），【分析】（1）化簡，令,，進(jìn)而求解即可；（2）令,，結(jié)果與求交集即可.【詳解】（1）由題故當(dāng),，即,時，取得最小值，且所以函數(shù)的最小值是，此時x的集合為；（2）由（1）令,，則,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時,單調(diào)增區(qū)間為；所以在中的單調(diào)增區(qū)間為和【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1) .(2)周期(3)由 求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.28已知函數(shù)，將的圖像向左平移個單位后得到的圖像，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為（）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)在區(qū)間上的單

24、調(diào)性【答案】（）；（）在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.【分析】（）由題設(shè)根據(jù)三角恒等變換化簡，再利用圖象的平移得函數(shù)，由函數(shù)的最大值求得，從而得函數(shù)的解析式；（）由（）得，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可求得答案.【詳解】解：（）由題設(shè)得，因為當(dāng)時，所以由已知得，即時，解得，故所求函數(shù)的解析式為；（）由（），解不等式，得，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減當(dāng)時，就是，相對區(qū)間，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.【點睛】易錯點點睛：對于三角函數(shù)左右平移時，注意平移的對象是，不是.如本題中將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到的圖像，而就是錯誤的.29已知函數(shù)，其中（1）若，是否存在實數(shù)使得函數(shù)為偶

25、函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）若為函數(shù)的對稱軸，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）時，單調(diào)增區(qū)間是，時，單調(diào)增區(qū)間是，【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義可得答案；（2）由條件結(jié)合輔助角公式可得，化簡可得，然后分、兩種情況討論.【詳解】（1）當(dāng)時，若存在實數(shù)使得函數(shù)為偶函數(shù)，則恒成立，即恒成立，整理得恒成立，所以，與矛盾，故不存在；（2）結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)知，三角函數(shù)在對稱軸處取最值，又由輔助角公式知的最值為，所以，兩邊平方，得，所以，即，所以，所以，當(dāng)時，令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間是，當(dāng)時，令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間是，30已知函數(shù)的周期為，其中；（1

26、）求的值，并寫出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)的三邊，依次成等比數(shù)列，角的取值范圍為集合，則當(dāng)時求函數(shù)的值域.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先逆用兩角差的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用周期公式求的值，進(jìn)而寫出函數(shù)的解析式；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的范圍，再根據(jù)為三角形的內(nèi)角求出的范圍，得出的定義域，從而求出的值域.【詳解】解：（1）；由，解得，所以函數(shù)的解析式為；（2）因為,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”；又為三角形內(nèi)角，所以，即,所以,所以，所以，即函數(shù)的值域是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：運用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用余弦定理和基本不等式將三角形的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)

27、化為角的范圍.31已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時，.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)減區(qū)間為，；（2）證明見解析.【分析】（1）利用兩角差余弦公式、正弦倍角公式及輔助角公式可得，即可求最小正周期，整體代入求單調(diào)減區(qū)間；（2）由得，即可得的值域，進(jìn)而判斷是否成立.【詳解】解：（1），的最小正周期.令，解得，單調(diào)減區(qū)間為，.（2）由，知：，則有的值域為，即當(dāng)時，得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用三角恒等變換：兩角和差公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)式，并確定函數(shù)性質(zhì).（2）根據(jù)（1）的三角函數(shù)解析式結(jié)合已知定義域范圍確定值域，判斷函數(shù)不等式是否成立.32已知函數(shù)（）若，求

28、的值；（）若函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜煤瘮?shù)的圖象，求函數(shù)在得的值域【答案】（）；（）.【分析】（）先將函數(shù)解析式整理，得到，由題中條件，結(jié)合三角恒等變換，即可得出結(jié)果；（）先根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換，得到的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（），因為，所以，即，所以，所以；（）圖象上所有點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，所以的解析式為，因為，所以，則，所以故在上的值域為.33已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位得到函數(shù)圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）最小正周期；（2）單調(diào)增區(qū)間是.【分析】（1）利用三角恒等思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；（2）利用三角函數(shù)圖象變換法則得出，然后解不等式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期為；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再向左移動個單位得，由，解得.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.【點睛】方法點睛：求解正弦函數(shù)的基本性質(zhì)問題，首先要利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，求解該函數(shù)的基本性質(zhì)問題應(yīng)對應(yīng)正弦函數(shù)的基本性質(zhì).