《專題51 利用三角函數的性質求參數值(解析版)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《專題51 利用三角函數的性質求參數值(解析版)（35頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、專題51 利用三角函數的性質求參數值一、單選題 1若函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則（ ）ABCD【答案】C【分析】由計算出的取值范圍，可得出，再由函數在區(qū)間上單調遞減可得出關于的等式，由此可解得實數的值.【詳解】，當時，由于函數在區(qū)間上單調遞增，則，所以，由于函數在區(qū)間上單調遞減，所以，函數在處取得最大值，則，又，所以，解得.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題通過正弦型函數在區(qū)間上的單調性求參數值，解題的就是將函數在區(qū)間上的單調性轉化為兩個區(qū)間的包含關系，并且分析出函數的一個最大值點，進而列出關于的等式求解.2已知函數的最小正周期為，若，且，則的最大值為（ ）ABCD【答案】C【分
2、析】由三角恒等變換化簡解析式，結合周期求出解析式，由得出，從而結合求出且，再由余弦函數的性質得出的最大值、的最小值，從而得出的最大值.【詳解】函數的最小正周期為若，則故且故的最大值為，的最小值為即的最大值為，的最小值為則的最大值為故選：C3已知函數，函數有三個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據題意做出函數在定義域內的圖像，將函數零點轉化成函數與函數圖像交點問題，結合圖形即可求解.【詳解】解：根據題意畫出函數的圖象，如圖所示：函數有三個零點，等價于函數與函數有三個交點，當直線位于直線與直線之間時，符合題意，由圖象可知：，所以，故選：D.【點睛】根據函數零點的情況求參數有三種
3、常用方法：（1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解.4如果函數的圖象關于直線對稱，那么的最小值為（ ）ABCD【答案】A【分析】利用余弦函數的對稱軸以及整體思想可得：的表達式，進而得到的最小值【詳解】由題意函數的圖象關于直線對稱，則有 解得 k，kZ，所以由此得|min故選：A【點睛】方法點睛：求正余弦函數的對稱軸及對稱中心一般利用整體思想求解5已知函數（）的圖象與直線的相鄰兩個交點距離等于，則的圖象的一條
4、對稱軸是（ ）ABCD【答案】D【分析】首先化簡函數，根據條件確定函數的周期，求，再求函數的對稱軸.【詳解】，由題意可知，令，解得：， 當時，.故選：D6已知函數在內有且僅有1個最大值點和3個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】先用輔助角公式整理得到，利用的范圍，求出的范圍，利用已知條件列出方程組即可求出的取值范圍.【詳解】， ，則的取值范圍是.故選：B.7、是函數的圖象與軸的兩個交點，且、兩點間距離的最小值為，則的值為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據已知條件求出函數的最小正周期，進而可得出，即可得解.【詳解】由題意可知，函數的最小正周期滿足，因此，.故選：B.8已知兩點，
5、是函數與軸的兩個交點，且兩點A，B間距離的最小值為，則的值為（ ）A2B3C4D5【答案】B【分析】由已知得，解之可得選項【詳解】設函數的最小正周期為T，則由已知得，解得，故選：B9將函數的圖象沿軸向左平移個單位后得到函數，若為偶函數，則的最小值為（ ）ABCD【答案】A【分析】利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式為一個角的一個三角函數的形式，通過平移求出平移后的函數的解析式，利用偶函數求出的值【詳解】函數，將函數的圖象沿軸向左平移個單位后，得到函數，因為函數是偶函數，當時，故選：A【點睛】結論點睛：函數是偶函數時，當函數是奇函數時，10若函數的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且該函數圖
6、象關于點成中心對稱，則等于（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知條件求得函數的最小正周期，可求得的值，再由已知可得，結合可求得的值.【詳解】由題意可知，函數的最小正周期滿足，由于函數的圖象關于點成中心對稱，則，解得，由于，解得.故選：A.【點睛】結論點睛：利用正弦型函數的對稱性求參數，可利用以下原則來進行：（1）函數關于直線對稱；（2）函數關于點對稱.11將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，若函數在上單調遞減，則正數的最大值為（ ）AB1CD【答案】A【分析】先根據圖象變換得到的解析式，根據可得此函數單調減區(qū)間的一般形式，根據其在上的單調性可求正數的范圍，故可得正確的選項.【詳解】，
7、故，令，故，故存在，使得，故即，解得，故正數的最大值為.故選：A.【點睛】方法點睛：含參數的正弦型函數，若已知其在某區(qū)間上的單調性，求參數的取值范圍時，一般先求出單調區(qū)間的一般形式，再根據包含關系可求參數的取值范圍.12已知函數在區(qū)間有三個零點、，且，若，則的最小正周期為（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正弦函數的對稱性可得出，再由可得出的值，由此可求得函數的最小正周期.【詳解】當時，函數的對稱軸方程為，令，可得，因為，可得或.由于函數在區(qū)間有三個零點、，且，由對稱性可得、滿足，可得，由對稱性可得、滿足，可得，所以，解得，因此，函數的最小正周期為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦型
8、函數周期的求解，解題的關鍵利用對稱性得出，再結合已知條件求出的值，即可得解.13已知函數，為圖象的一個對稱中心現給出以下四種說法：；函數在區(qū)間上單調遞增；函數的最小正周期為則上述說法正確的序號為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據，代入數據，結合的范圍，即可求得的值，即可判斷的正誤；根據對稱中心為，代入公式，可解得的表達式，結合的范圍，即可判斷的正誤；根據解析式，結合x的范圍，即可驗證的正誤；根據正切函數的周期公式，即可判斷的正誤，即可得答案.【詳解】對于：由知，即，結合，解得故正確；對于：因為為圖象的一個對稱中心，故，解得，因為，所以，故錯誤；對于：當時，故函數在區(qū)間上單調遞增，故正確；對于
9、：因為，所以的最小正周期，故正確綜上，正確的序號為故選：D14已知函數（，）的圖象與軸的兩個交點的最短距離為.若將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的新函數圖象關于中心對稱，則（ ）ABCD【答案】D【分析】由題意利用函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，求得的可能取值【詳解】設函數，與軸的兩個交點坐標為，不妨設，當時，若將函數的圖象向左平移個單位，得到的圖象得到的新函數圖象關于中心對稱，則可以等于，故選：D15若、是小于180的正整數，且滿足.則滿足條件的數對共有（ ）A2對B6對C8對D12對【答案】A【分析】根據、是小于180的正整數，確定，結合正弦函數圖像，分和兩種情況討論即可.
10、【詳解】解：、，所以，結合觀察正弦函數的圖像，滿足的只可能以下兩種情況：（1）時，或，所以或.（2）時，同樣有，此時，但，則，所以此時沒有滿足題意的整數對；綜合（1）（2），滿足題意的有2對.故選：A【點睛】思路點睛：一般情況下，滿足的有無數對，由于本題的特殊性，這是本題的難點.16已知函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則（ ）A，B，CD3【答案】C【分析】由題意知，當時，函數取得最大值，可求得，.再由函數的單調區(qū)間得出不等式組，解之可得選項.【詳解】由題意知，當時，函數取得最大值，所以，.得，.因為在區(qū)間上遞增，在上遞減，所以且，解得.因此.故選：C.17已知，是函數（，）相鄰的兩個
11、零點，若函數在上的最大值為1，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】先利用三角函數的性質得到，再根據已知零點得到，然后根據三角函數的性質得到關于的不等式，求解即可得到結果【詳解】設函數的最小正周期為，由題意可得，則，所以，所以，則令，則，即，又，所以，所以因為函數在上的最大值為1，且，如圖.當時，所以，所以故選：C【點睛】關鍵點睛：本題考查根據正弦型函數的最大值求參數，解答本題的關鍵是，是函數的兩個相鄰的零點求出，再作出函數的圖象，根據圖象分析定義域的區(qū)間，屬于中檔題.18已知函數是定義在上的奇函數，則的一個可能取值為（ ）ABCD【答案】B【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因
12、為函數是定義在上的奇函數，所以所以，即故選：B19已知函數的圖象既關于點中心對稱，又關于直線對稱，且函數在上的零點不超過2個，現有如下三個數據：；，則其中符合條件的數據個數為（ ）A0B1C2D3【答案】B【分析】根據對稱中心和對稱軸可求出 的集合，再根據的范圍和零點的個數，可確定滿足條件的的值，最后選擇符合條件的的個數.【詳解】由題意得，兩式相加得，又因為，代入中，得.當時，記，令，得，則，至多有2個實數根，解得，結合，觀察可知，符合條件.故選：B.【點睛】三角函數的對稱中心為，則.三角函數的對稱軸為，則.20已知點在函數（且，）的圖象上，直線是函數的圖象的一條對稱軸若在區(qū)間內單調，則（ ）
13、ABCD【答案】B【分析】先根據函數的對稱軸、對稱中心及單調區(qū)間確定函數周期的范圍，從而得出的取值范圍，得出的所有取值，然后一一驗證即可.【詳解】由題意得，得，得，又因為在區(qū)間內單調，所以，得，得所以又因為，所以或3當時，得，又，所以，此時直線的函數的圖象的一條對稱軸，且在區(qū)間內單調所以當時，得，又，所以，此時，所以直線不是函數的圖象的一條對稱軸所以，故選：B【點睛】考查根據三角函數的圖像性質問題求參，難度較大，解答時要注意以下幾點：（1）三角函數圖象上，對稱中心與對稱軸之間的距離大于或等于周期；（2）若函數或在區(qū)間上單調，則.21將函數向左至少平移多少個單位，使得到的圖像關于軸對稱（ ）AB
14、CD【答案】B【分析】設函數向左平移個單位，得，根據計算出最小正數即可.【詳解】解：設函數向左平移個單位，得，因為其關于軸對稱，則，解得， 當時，取最小正數.即將函數向左至少平移個單位，使得到的圖像關于軸對稱.故選：B.【點睛】本題考查三角函數的性質及函數圖像的平移，是基礎題.22已知函數，將的圖象向左平移a（）個單位長度可以得到一個奇函數的圖象，將的圖象向右平移b（）個單位長度可以得到一個偶函數的圖象，則的最小值等于（ ）A0BCD【答案】A【分析】先整理函數，再根據平移后函數的奇偶性得到a,b的值，即可得結果.【詳解】解：函數，函數的圖象向左平移a個單位得到，又因為函數為奇函數，則（），整
15、理得（）；函數的圖象向右平移b個單位得到，由于得到的函數的圖象為偶函數，；當時，故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的平移變換和奇偶性，屬于中檔題.二、多選題23將函數的圖象向右平移個單位長度，所得的圖象經過點，且在上為增函數，則取值可能為（ ）A2B4C5D6【答案】ABD【分析】由圖象向右平移個單位長度可得，由圖象經過點可得，即得，再由在上為增函數，可得，即可求解.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度可得：因為所得的圖象經過點，所以即，所以，解得，因為在上為增函數，所以 即，所以時，；時，；時，；所以取值可能為，故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于整體代入法的靈活應用，涉及
16、零點的整體代入和單調區(qū)間的整體代入才能突破難點.24已知函數的圖像的一個對稱中心為，其中，則以下結論正確的是（ ）A函數的最小正周期為B將函數的圖像向左平移所得圖像關于原點對稱C函數在區(qū)間上單調遞增D函數在區(qū)間上有6個零點【答案】AC【分析】根據條件求出，然后利用三角函數的圖像和性質逐一判斷即可.【詳解】由函數的圖像的一個對稱中心為，得，因為，所以，則所以周期，故A正確；將函數的圖像向左平移，得，顯然的圖像不關于原點對稱，故B錯誤；當時，所以在區(qū)間上單調遞增，故C正確由，得，解得由，得，因為，所以，所以函數在區(qū)間上有7個零點，故D錯誤故選：AC25已知函數，則下列結論正確的是（ ）A的最小正周
17、期為B的圖象關于直線對稱C在單調遞增D的最小值為【答案】ABD【分析】由正弦函數的周期公式可判斷A；代入得函數有最小值，可判斷B；由得，可判斷C；根據三角恒等變換可判斷D.【詳解】的周期為，故A正確；時，此時有最小值，圖象關于對稱，B正確；時，在上不單調，C錯誤；，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查正弦函數的周期性、單調性、對稱性、以及最值，屬于基礎題.26函數的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關于點對稱，則下列判斷正確的是（ ）A函數在上單調遞增B函數的圖象關于直線對稱C當時，函數的最小值為D要得到函數的圖象，只需要將的圖象向右平移個單位【答案】AD【分析】由三角函
18、數的圖象與性質可得，再由三角函數的圖象與性質可判斷A、B、C；由三角函數圖象的變換及誘導公式可判斷D.【詳解】由函數的最大值為2可得，因為函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以函數的最小正周期滿足，所以，又的圖象關于點對稱，所以即，所以，當時，所以函數在上單調遞增，故A正確；當時，所以直線不是函數圖象的對稱軸，故B錯誤；當時，故C錯誤；將的圖象向右平移個單位可得的函數為：，故D正確.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是熟練掌握三角函數的圖象與性質，細心計算即可得解.三、解答題27函數f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的圖象如圖所示.（1）求函數yf（x）的解析式；（2）當
19、時，求函數yf（x）的值域；（3）若關于x的方程3f（x）2+mf（x）10在上有三個不相等的實數根，求實數m的取值范圍.【答案】（1）f（x）sin（2x+）；（2），1；（3）2m.【分析】（1）根據圖象得出振幅和周期，求出2，利用特殊值求出的取值；（2）利用整體代入法求解值域；（3）根據（2）結合二次方程根的分布相關知識即可得解.【詳解】（1）由函數圖象可得：A1，周期T4（），解得：2，又點（，0）在函數圖象上，可得：sin（2×+）0，解得：k，kZ，結合0，可得，f（x）sin（2x+）.（2），2x+ ，sin（2x+），1，即函數f（x）的值域為：，1.（3）要使方程
20、有三個不相等的根，需要2個根在，1，另一個根在，）上，令tf（x），g（t）3t2+mt1，則有：g（1）3+m10；g（）；g（）；從而解得：2m-.28已知向量，函數. （1）若，當時，求的值域；（2）若為偶函數，求方程在區(qū)間上的解.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將化為，然后可得答案；（2）由為偶函數可求出，然后可得答案.【詳解】（1）當，由所以的值域為（2）若為偶函數，則恒成立即成立，整理得所以由得又29若函數在上單調遞增，求的取值范圍.【答案】【分析】先利用輔助角公式化簡得，再利用正弦函數的性質求出的單調遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】,令，解得：，令，得可得在單調遞增，若上單調遞
21、增，則，所以的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是解得，求出的單調遞增區(qū)間，可得在單調遞增，進而可得.30的內角的對邊分別為，已知函數一條對稱軸為，且（1）求的值；（2）若，求的面積最大值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用對稱軸可求得，得到解析式，利用可求得結果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得最大值，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）是的對稱軸，解得：，又，解得：.（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），（當且僅當時取等號），即面積的最大值為.【點睛】方法點睛：已知一邊及一邊所對角求解三角形面積最大值的問題，可利用余弦定理構造方程，利用基本不等式即可
22、求得所需的兩邊之積的最大值，代入三角形面積公式即可求得結果.31已知函數滿足下列3個條件中的2個條件：函數的周期為；是函數的對稱軸；且在區(qū)間上單調；（）請指出這二個條件并說明理由，求出函數的解析式；（）若，求函數的最值.【答案】（）成立，理由見解析，；（）的最大值為1；最小值為.【分析】（）依次討論成立，成立，成立，計算得到只有成立，得到答案.（）得到，得到函數值域，即可得出最值.【詳解】（）由可得，. 由得：，.由得，若成立，則，. 若成立，則，不合題意. 若成立，則，與中的矛盾，所以不成立. 所以，只有成立，. （）由題意得，. 所以，當時，函數取得最大值1；當或時，函數取得最小值.32已
23、知函數的最小正周期為.（1）求的值及的值域；（2）若，. 求的值.【答案】（1），的值域為；（2）.【分析】（1）由函數的最小正周期可求得的值，求得，結合的取值范圍可求得的值域；（2）求得，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得的值.【詳解】（1）由于函數的最小正周期為，則，所以，；（2），可得，所以，.【點睛】求函數在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數式的化簡，一般化成形如的形式或的形式第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或）的取值范圍；第三步：求出所求函數的值域（或最值）.33將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象.（1）若為偶函數，求的值；（2）若在上是單調函數，求
24、的取值范圍.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）首先化簡解析式，然后求得左移個單位后函數的解析式，根據的奇偶性求得的值，進而求得的值.（2）根據（1）中求得的，求得的取值范圍，根據的取值范圍，求得的取值范圍，根據在上是單調函數，以及正弦型函數的單調性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）又為偶函數，則， . .（2），在上是單調函數，且【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查根據三角函數的奇偶性求參數，考查三角函數圖像變換，考查三角函數單調區(qū)間有關問題的求解，考查運算求解能力，屬于中檔題.四、填空題34已知函數，對，成立，則_.【答案】1【分析】利用輔助角公式和為的形式：，根據已
25、知可得是f(x)的圖象的對稱軸，進而求得，利用的關系和誘導公式求得的值.【詳解】解：，其中.對，成立，是f(x)的圖象的對稱軸，即,，故答案為：1.【點睛】本題考查三角函數的圖象和性質，涉及輔助角公式化簡三角函數，利用輔助角化簡是前提，理解的關系是基礎，由對，成立，得出是f(x)的圖象的對稱軸是關鍵.35已知函數，若函數恰有3個零點，分別為，則的值為_.【答案】【分析】令，則，通過正弦函數的對稱軸方程，求出函數的對稱軸方程分別為和，結合圖像可知，從而求得，進而求得的值【詳解】令，則函數恰有3零點，等價于的圖像與直線恰有3個交點，即與直線恰有3個交點，設為，如圖函數，的圖像取得最值有2個t值，分
26、別為和，由正弦函數圖像的對稱性可得，即，即，故 ，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.36設，若對任意成立，則下列命題中正確的命題是_.（填序號）；不具有奇偶性；的單調增區(qū)間是；可能存在經過點的直線與函數的圖象不相交.【答案】【分析】由題可知，直線與函數的圖象的一條對稱軸，可求得，可化簡函數的解析式
27、為.計算出的值，可判斷的正誤；計算、，可判斷的正誤；利用特殊值法可判斷的正誤；取，利用正弦函數的單調性可判斷的正誤；假設命題正確，求出直線的方程，結合函數的最值可判斷的正誤.【詳解】由題可知，直線與函數的圖象的一條對稱軸，可得，整理可得，即，.對于命題，正確；對于命題，所以，不正確；對于命題，則且，所以，函數不具有奇偶性，正確；對于命題，當時，則，當時，函數在區(qū)間上單調遞減，錯誤；對于命題，假設經過點的直線與函數的圖象不相交，則該直線與軸平行，此時該直線的方程為，則，由于，矛盾，錯誤.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦型函數的單調性、奇偶性、三角函數值的計算，解題的關鍵就是從分析得出
28、直線與函數的圖象的一條對稱軸，進而借助輔助角公式化簡得出、的倍數關系.37已知函數的圖象關于原點對稱，且在區(qū)間上是減函數，則的取值范圍為_.【答案】【分析】由函數圖象關于原點對稱可得，再由在區(qū)間上是增函數，可得，解不等式即可.【詳解】由函數的圖象關于原點對稱，得，即，因為在區(qū)間上是減函數，所以在區(qū)間上是增函數，又是函數的單調遞增區(qū)間，所以，又，解得.故答案為：38已知函數，若在區(qū)間上是增函數，則的取值范圍是_.【答案】【分析】由已知得，列不等式求解【詳解】因為函數，且在區(qū)間上是增函數，所以，所以，解得.故答案為：39已知曲線關于對稱，則的最小值為_.【答案】【分析】由題意可得，解得：，進而即可
29、求解的最小值.【詳解】解：因為曲線關于對稱，所以，可得，解得：，則的最小值為.故答案為：.五、雙空題40將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若對任意成立，則實數的最小值為_此時，函數在區(qū)間上的圖象與直線所圍成的封閉圖形的面積為_.【答案】 【分析】先將函數化簡為，由平移得到的解析式，對任意成立，即函數的對稱軸為，可求出的最小值，然后用割補的方法，可得圖形的面積.【詳解】由圖象向左平移個單位長度.則得到.所以.由若對任意成立，則函數的對稱軸為.得，所以，則的最小值為；此時，由對稱性可知，如圖.即右邊陰影部分的面積等于左邊的面積.所求面積即為直線以及圍成矩形面積，即為.故答案為：. ， 【點睛】本題考查三角函數圖像的平移變換和對稱性，屬于中檔題.
專題51 利用三角函數的性質求參數值(解析版)
