高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案21】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 學(xué)案21　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.會用向量數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用． 自主梳理 1．(1)兩角和與差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_______________________________

2、______________. (2)兩角和與差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)兩角和與差的正切 tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. (α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 其變形

3、為： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)， 其中角φ稱為輔助角． 自我檢測 1．(20xx福建)計(jì)算sin 43cos 13－cos 43sin 13的結(jié)果等于 (　　) A. B. C. D. 2．已知cos＋sin α＝，則sin的值是 (　　) A．－ B. C．－ D. 3．函數(shù)f(x)＝

4、sin 2x－cos 2x的最小正周期是 (　　) A. B．π C．2π D．4π 4．(20xx臺州月考)設(shè)0≤α<2π，若sin α>cos α，則α的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 5．(20xx廣州模擬)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，則|a＋b|的最大值為(　　) A．1 B. C．3 D．9 探究點(diǎn)一　給角求值問題(三角函數(shù)式的化簡、求值) 例1　求值： (1)[2sin 50＋sin 1

5、0(1＋tan 10)]； (2)sin(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． 變式遷移1　求值：(1)； (2)tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)． 探究點(diǎn)二　給值求值問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的三角函數(shù)值) 例2　已知0<β<<α<，cos＝， sin＝，求sin(α＋β)的值． 變式遷移2　(20xx廣州模擬)已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 探究點(diǎn)三　給值求角問題(已知某角的三角函數(shù)值，求另一角的值) 例3　已

6、知0<α<<β<π，tan ＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值；　(2)求β的值． 變式遷移3　(20xx岳陽模擬)若sin A＝，sin B＝，且A、B均為鈍角，求A＋B的值． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 【答題模板】 解　(1)∵|a－b|＝，∴a2－2ab＋b2＝.[2分] 又∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，si

7、n β)，∴a2＝b2＝1， ab＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分] 故cos(α－β)＝＝＝.[6分] (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.[8分] 又∵sin β＝－，－<β<0，∴cos β＝.[9分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝＋＝.[12分] 【突破思維障礙】 本題是三角函數(shù)問題與向量的綜合題，唯一一個(gè)等式條件|a－b|＝，必須從這個(gè)等式出發(fā)，利用向量知識化簡再結(jié)合兩角差的余弦公式可求第(1)問，在第(2)問

8、中需要把未知角向已知角轉(zhuǎn)化再利用角的范圍來求，即將α變?yōu)?α－β)＋β. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 |a－b|平方逆用及兩角差的余弦公式是易錯(cuò)點(diǎn)，把未知角轉(zhuǎn)化成已知角并利用角的范圍確定三角函數(shù)符號也是易錯(cuò)點(diǎn)． 1．轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，變換包括：函數(shù)名稱變換，角的變換，“1”的變換，和積變換，冪的升降變換等等． 2．變換則必須熟悉公式．分清和掌握哪些公式會實(shí)現(xiàn)哪種變換，也要掌握各個(gè)公式的相互聯(lián)系和適用條件． 3．恒等變形前需已知式中角的差異，函數(shù)名稱的差異，運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化． 4．基本技巧：切割化弦，異名化同，異角化同或盡量減少名稱、角數(shù)，化為同次冪，化為比

9、例式，化為常數(shù)． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx佛山模擬)已知sin＋sin α＝－，則cos等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 2．已知cos－sin α＝，則sin的值是 (　　) A．－ B. C．－ D. 3．(20xx寧波月考)已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin等于

10、 (　　) A．－ B．－ C. D. 4．函數(shù)y＝sin x＋cos x圖象的一條對稱軸方程是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，則C的大小為 (　　) A. B.π C.或π D.或π 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx重慶)如圖， 圖中

11、的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在C上)且半徑相等．設(shè)第i段弧所對的圓心角為αi (i＝1,2,3)，則cos cos － sin sin ＝________. 7．設(shè)sin α＝ ，tan(π－β)＝，則tan(α－β)＝________. 8．(20xx惠州月考)已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，且α、β∈，則tan(α＋β)＝__________，α＋β的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(1)已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－.求sin α； (2)已知α，β∈

12、(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 10．(12分)(20xx四川)(1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－ sin αsin β；②由C(α＋β)推導(dǎo)兩角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. （2）已知△ABC的面積S=，＝3，且cos B＝，求cos C. 11．(14分)(20xx濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，sin 2x)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)＝1－，且x∈

13、，求x； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 答案 自主梳理 1．(1)cos αcos β－sin αsin β　cos αcos β＋sin αsin β (2)sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β (3)　　2.　 自我檢測 1．A　2.C　3.B　4.C　5.C 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　在三角函數(shù)求值的問題中，要注意“三看”口訣，即(1)看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，合理拆角，化異為同；(2)看名稱，把算式盡量化成同一名

14、稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為弦，或把所有的弦都轉(zhuǎn)化為切；(3)看式子，看式子是否滿足三角函數(shù)的公式．如果滿足則直接使用，如果不滿足需轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可以使用． 解　(1)原式 ＝sin 80 ＝ sin 80 ＝cos 10 ＝cos 10 ＝cos 10＝2sin 60 ＝2＝. (2)原式＝sin[(θ＋45)＋30]＋cos(θ＋45)－cos[(θ＋45)－30] ＝sin(θ＋45)＋cos(θ＋45)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋45)－sin(θ＋45)＝0. 變式遷移1　解　(1)原式＝ ＝＝＝. (2)原式＝tan[(－θ)＋

15、(＋θ)][1－tan(－θ)tan(＋θ)]＋tan(－θ)tan(＋θ)＝. 例2　解題導(dǎo)引　對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”，使“所求角”變?yōu)椤耙阎恰?，若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分類討論．應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要學(xué)會拆角、拼角等技巧． 解　cos＝sin＝， ∵0<β<<α<， ∴<＋α<π，<＋β<π. ∴cos＝－＝－， cos＝－＝－. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ＝sincos＋cossin ＝－＝－. ∴sin(α＋β)＝. 變式遷移2　解　(1)由tan＝2，得＝2，

16、 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝. (2) ＝ ＝＝ ＝－tan(α－β)＝－ ＝－＝. 例3　解題導(dǎo)引　(1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則： ①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； ②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． (2)解這類問題的一般步驟： ①求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； ②確定角的范圍； ③根據(jù)角的范圍寫出所求的角． 解　(1)∵tan ＝， ∴sin α＝sin＝2sin cos ＝＝＝＝. (2)∵0<α<，s

17、in α＝，∴cos α＝. 又0<α<<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝，得sin(β－α)＝. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝＋＝＝. 由<β<π得β＝π. (或求cos β＝－，得β＝π) 變式遷移3　解　∵A、B均為鈍角且sin A＝，sin B＝， ∴cos A＝－＝－＝－， cos B＝－＝－＝－. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B ＝－－＝.① 又∵

18、D　2.D　3.B　4.A　5.A 6．－　7.－　8.?。? 9．解　(1)∵β∈，cos β＝－， ∴sin β＝.…………………………………………………………………………(2分) 又∵0<α<，<β<π， ∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝， ∴cos(α＋β)＝－ ＝－ ＝－，…………………………………………………………(4分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝－＝.…………………………………………………………(6分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝，……………………………

19、………………………(8分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝＝1.……………………………………………………(10分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝<1，tan β＝－<0， ∴0<α<，<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.……………………………………………………(12分) 10．(1) ①證明　如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于點(diǎn)P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點(diǎn)P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點(diǎn)P4. 則P1(1,0)，P2(cos α，sin

20、α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))， …………………………………………………………………………………………(2分) 由|P1P3|＝|P2P4|及兩點(diǎn)間的距離公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展開并整理得： 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分) ②解　由①易得，cos＝sin

21、α， sin＝cos α. sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分) (2)解　由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c. 則S＝bcsin A＝， ＝bccos A＝3>0， ∴A∈，cos A＝3sin A，……………………………………………………………(9分) 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝， 由cos B＝，得sin B＝.

22、 ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝. ……………………………………………………………………………………………(11分) 故cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－. ……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)依題設(shè)得f(x)＝2cos2x＋sin 2x ＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1. 由2sin＋1＝1－， 得sin＝－.……………………………………………………………………(3分) ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤. ∴2x＋＝－，即x＝－.………………………………………………………………(6分) (2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ (k∈Z)， 即－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)， 得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為 (k∈Z)．……………………………………(10分) 列表： x 0 π y 2 3 2 0 －1 0 2 描點(diǎn)連線，得函數(shù)圖象如圖所示： …………………………………………………………………………………………(14分)