2015《創(chuàng)新大課堂》高三人教版數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè) 第八章 平面解析幾何 第六節(jié)

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1、 - 1 - / 6 課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1(2014唐山模擬)已知雙曲線的漸近線為y 3x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),(4,0),則雙曲線方程為 ( ) A.x24y2121 B.x22y241 C.x224y281 D.x28y2241 A 由題意可設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b21(a0,b0), 由已知條件可得ba 3,c4,即ba 3,a2b242, 解得a24,b212,故雙曲線方程為x24y2121. 2(2014廣東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0),頂點(diǎn)B在雙曲線x216y291 上,則sin B|sin Asin C|為( ) A.3

2、2 B.23 C.54 D.45 C 設(shè)ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c, 由正弦定理得sin B|sin Asin C|b|ac|, 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可知,A,C是雙曲線的焦點(diǎn),且b10,|ca|8. 所以sin B|sin Asin C|b|ac|54.故選 C. 3 已知m是兩個(gè)正數(shù) 2, 8 的等比中項(xiàng), 則圓錐曲線x2y2m1 的離心率為( ) - 2 - / 6 A.32或 52 B.32 C. 5 D.32或 5 D m216,m4,故該曲線為橢圓或雙曲線 當(dāng)m4 時(shí),ecaa2b2a32. 當(dāng)m4 時(shí),ecaa2b2a 5. 4(2013浙江高考)如圖,F(xiàn)1

3、,F(xiàn)2是橢圓C1:x24y21 與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是 ( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62 D 橢圓C1中,|AF1|AF2|2a4,|F1F2|2c2 3.又四邊形AF1BF2為矩形,F(xiàn)1AF290, |AF1|2|AF2|2|F1F1|2, |AF1|2 2,|AF2|2 2, 雙曲線C2中,2c2 3,2a|AF2|AF1|2 2, 故e3262,故選 D. 5(理)(2014遼寧五校聯(lián)考)已知點(diǎn)M(3,0)、N(3,0)、B(1,0),動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B,分別過(guò)點(diǎn)M、N且與圓C相

4、切的兩條直線相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為 ( ) - 3 - / 6 Ax2y281(x1) Bx2y2101(x0) Cx2y281(x0) Dx2y2101(x1) A 如圖,設(shè)兩切線分別與圓切于點(diǎn)S、T,則|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN|22a,所以所求曲線為雙曲線的右支且不能與x軸相交,a1,c3, , 所以b28,故點(diǎn)P的軌跡方程為x2y281(x1) 5(文)(2014青島模擬)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2y291 的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)P在雙曲線上,且PF1PF20,則|PF1PF2| ( ) A. 10 B2 10 C. 5 D2 5

5、B 如圖,由PF1PF20 可得PF1PF2,又由向量加法的平行四邊形法則可知PF1QF2為矩形,因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等,故有|PF1PF2|PQ|2c2 10,所以選 B. 二、填空題 6(2014蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào))若雙曲線x2y2a1(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于 3,則此雙曲線方程為_(kāi) 解析 雙曲線x2y2a1(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)(1a,0)到一條漸近線axy0 的距離為a(1a)a1 3, 解得a3,故此雙曲線方程為x2y231. 答案 x2y231 - 4 - / 6 7(2014烏魯木齊第一次診斷)設(shè)A、B為雙曲線x2a2y2b21(ba0)上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若OAOB,則AO

6、B面積的最小值為_(kāi) 解析 設(shè)直線OA的方程為ykx(k0),則直線OB的方程為y1kx,則點(diǎn)A(x1,y1)滿足ykxx2a2y2b21, x21a2b2b2a2k2,y21a2b2k2b2a2k2, |OA|2x21y21(1k2)a2b2b2a2k2, 同理|OB|2(1k2)a2b2k2b2a2, |OA|2|OB|2(1k2)a2b2b2a2k2(1k2)a2b2k2b2a2 a4b4a2b2(a2b2)2k2(k21)2, k2(k21)21k21k2214(當(dāng)且僅當(dāng)k1 時(shí),取等號(hào)), |OA|2|OB|24a4b4(b2a2)2, 又ba0, SAOB12|OA|OB|的最小值為

7、a2b2b2a2. 答案 a2b2b2a2 三、解答題 8已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為 2,且過(guò)點(diǎn)(4, 10)點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上 (1)求雙曲線方程; (2)求證:MF1MF2 0. - 5 - / 6 解析 (1)e 2,可設(shè)雙曲線方程為x2y2(0) 過(guò)點(diǎn)(4, 10),1610,即6. 雙曲線方程為x26y261. (2)證明:由(1)可知,雙曲線中ab 6,c2 3, F1(2 3,0),F(xiàn)2(2 3,0), kMF1m32 3,kMF2m32 3,kMF1kMF2m2912 m23. 點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,9m26,m23, 故kMF1kMF2

8、1,MF1MF2. MF1MF20. 9(2014太原四校聯(lián)考)已知雙曲線G的中心在原點(diǎn),它的漸近線與圓x2y210 x200 相切過(guò)點(diǎn)P(4,0)作斜率為14的直線l,使得l與G交于A,B兩點(diǎn), 和y軸交于點(diǎn)C, 并且點(diǎn)P在線段AB上, 又滿足|PA|PB|PC|2. (1)求雙曲線G的漸近線方程; (2)求雙曲線G的方程; (3)橢圓S的中心在原點(diǎn),它的短軸是G的實(shí)軸,如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分求橢圓S的方程 解析 (1)設(shè)雙曲線G的漸近線方程為ykx, 則由漸近線與圓x2y210 x200 相切可得|5k|k21 5,k12, 即雙曲線G的漸近線方

9、程為y12x. (2)由(1)可設(shè)雙曲線G的方程為x24y2m, 把直線l的方程y14(x4)代入雙曲線方程, 整理得 3x28x164m0,即xAxB83, - 6 - / 6 xAxB164m3.(*) |PA|PB|PC|2, P,A,B,C共線且P在線段AB上, (xPxA)(xBxP)(xPxC)2, 即(xB4)(4xA)16, 整理得 4(xAxB)xAxB320. 將(*)代入上式得m28,雙曲線方程為x228y271. (3)由題可設(shè)橢圓S的方程為x228y2a21(a2 7), 設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為P(x0,y0), 即x2128y21a21,x2228y22a21, 兩式作差得(x1x2)(x1x2)28(y1y2)(y1y2)a20. 由于y1y2x1x24,x1x22x0,y1y22y0, x0284y0a20. 垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線x284ya20 截在橢圓S內(nèi)的部分 又由已知,這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分, 所以a211212,即a256,故橢圓S的方程為x228y2561.

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