高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題06 立體幾何高考聯(lián)考模擬理數(shù)試題分項(xiàng)版解析解析版 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第一部分 20xx高考試題 立體幾何 1. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示： [][] 是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和 故選A． 考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積 【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效

2、的考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的表面積與體積交匯.由三視圖還原出原幾何體,是解決此類問題的關(guān)鍵. 2.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點(diǎn)： 三視圖，空間幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】由三視圖還原幾何體的方法: 3.【高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（） A.

3、B. C.D. 【答案】A 【解析】 試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A. 考點(diǎn)：1.三視圖；2.空間幾何體體積計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征.常見的有以下幾類：①三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐；②三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)的幾何體為四棱錐；③三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)的幾何體為圓錐；④三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱柱；⑤三視圖為三個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)的幾何體為四棱柱；⑥三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)的幾何體為圓柱. 4.【20xx高考新課標(biāo)3理

4、數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ） （A） （B） （C）90 （D）81 【答案】B 【解析】 試題分析：由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B． 考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖及表面積． 【技巧點(diǎn)撥】求解多面體的表面積及體積問題，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過(guò)這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，建立未知量與已知量間的關(guān)系，進(jìn)行求解． 5.【20xx高考山東理數(shù)】一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，

5、其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點(diǎn)：1.三視圖；2.幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖及幾何體的體積計(jì)算，本題涉及正四棱錐及球的體積計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，較全面的考查考生的視圖用圖能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)基本計(jì)算能力等. 6.【20xx高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C

6、 【解析】 試題分析：由題意知，．故選C． 考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系． 【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長(zhǎng)方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系． 7.【高考四川理數(shù)】已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 . 【答案】 考點(diǎn)：三視圖，幾何體的體積. 【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識(shí)圖能力．解題時(shí)要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的三視圖以及各種組合體的

7、三視圖． 8.【20xx高考浙江理數(shù)】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是 cm2，體積是 cm3. 【答案】 【解析】 試題分析：幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為 考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積． 【方法點(diǎn)睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計(jì)算該幾何體的表面積與體積． 9.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下

8、列四個(gè)命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 【解析】 試題分析：對(duì)于①，，則的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②,因?yàn)?，所以過(guò)直線作平面與平面相交于直線，則，因?yàn)?，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④. 考點(diǎn)： 空間中的線面關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】求解本題應(yīng)注意在空間中考慮線、面關(guān)系. 10.【20xx高考浙江理數(shù)】如圖，在△ABC中，AB=BC=2

9、，∠ABC=120.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 . 【答案】 故. 在中，，. 由余弦定理可得， 所以. 過(guò)作直線的垂線，垂足為.設(shè) 則， 即， 解得. 而的面積. 設(shè)與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離. 故四面體的體積 . 設(shè)，因?yàn)椋? 則. （1）當(dāng)時(shí)，有， 故. 此時(shí)， . ，因?yàn)椋? 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故. （2）當(dāng)時(shí)，有， 故. 此時(shí)， . 由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故. 綜上，四面體的體積的最大值為. 考點(diǎn)：1、空間幾何體的

10、體積；2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值． 【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)已知條件求出四面體的體積，再對(duì)的取值范圍討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得四面體的體積的最大值． 11.【20xx高考新課標(biāo)1卷】平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 考點(diǎn)：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角. 【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ). 12.【20x

11、x高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若， ，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為，故選B． 考點(diǎn)：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積． 【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；

12、（3）建立函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)求解． 13.【20xx高考天津理數(shù)】已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m）， 則該四棱錐的體積為_______m3. 【答案】2 考點(diǎn)：三視圖 【名師點(diǎn)睛】1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖． 2．三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)． 14.【20xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2

13、FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（I）見解析（II） 【解析】 試題分析：（I）先證明平面,結(jié)合平面,可得平面平面．（II）建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角. 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可?。畡t． 故二面角的余弦值為． 考點(diǎn)：垂直問題的證明及空間向量的

14、應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決. 15.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解. 又，而， 所以. （I

15、I）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即， 所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以取.于是， . 因此二面角的正弦值是. 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角. 【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 16.【20xx高考山

16、東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線. （I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（Ⅱ）立體幾何中的角與距離的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，其中解法一建立空間直角坐標(biāo)系求解；解法二則是找到為二面角的平面角直接求解. 試題解析： （II）解法一：[] 連接,則平面， 又且是圓的直徑，所以 以為坐標(biāo)

17、原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 解法二： 連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 則有, 又平面， 所以FM⊥平面ABC, 可得 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， 可得, 從而為二面角的平面角. 又,是圓的直徑， 所以 從而，可得 所以二面角的余弦值為. 考點(diǎn)：1.平行關(guān)系；2. 異面直線所成角的計(jì)算. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相

18、互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，給出規(guī)范的證明.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 17.【20xx高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）利用線面平行判定定理證明線面平行，而線線平行的尋找往往結(jié)合平幾知識(shí)

19、，如中位線性質(zhì)（2）利用面面垂直判定定理證明，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直性質(zhì)與判定定理,如將線線垂直先轉(zhuǎn)化到線面垂直平面，從而得到線線垂直，再結(jié)合，轉(zhuǎn)化到線面垂直 試題解析：證明：（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn). 所以，于是 又因?yàn)镈E平面平面 所以直線DE//平面 （2）在直三棱柱中， 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以平面 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以 因?yàn)橹本€，所以 考點(diǎn)：直線與直線、平面與平面位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線

20、面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. (4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 18.【20xx高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分） 如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2. （I）求證：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 試題解

21、析：依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，. （I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以. （II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得. 因此有，于是，所以，二面角的正弦值為. （III）解：由，得.因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為. 考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問題 19.【高考北京理數(shù)】（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，， ，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所

22、成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在， 試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，? 所以平面，所以， 又因?yàn)?，所以平面? （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)?，所? 又因?yàn)槠矫?，平面平面? 所以平面. 因?yàn)槠矫?，所? 因?yàn)?，所? 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得， . 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則. 所以. 又，所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. （3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得. 因此點(diǎn). 因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)， 即，解得. 所以在棱上存在點(diǎn)使得

23、平面，此時(shí). 考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用. 【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等. 20.【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （I）證明平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為

24、平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線的方向向量與平面法向量的夾角來(lái)處理與平面所成角． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故，四邊形為平行四邊形，于是. 因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意知，，，，， ，，. 設(shè)為平面的法向量，則，即，可取， 于是. 考點(diǎn)：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積． 【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)

25、系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理． 21.【20xx高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面 ,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證：EF⊥平面ACFD； (II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案】（I）證明見解析；（II）． 【解析】 試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中計(jì)算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間

26、直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值． 所以平面． （II）方法一： 過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)． 因?yàn)槠矫妫?，則平面，所以． 所以，是二面角的平面角． 在中，，，得． 在中，，，得． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 方法二： 如圖，延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形． 取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面． 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線，的方向?yàn)?，的正方向? 建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意得 ，，， ，，． 因此， ，，． 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為． 由，得，??； 由，得，?。? 于是，． 所以，二面角的平面角的余弦

27、值為． 考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角． 【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線． 22.【高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90. （Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值. 【答案

28、】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行. 延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED. 所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CD∥EB 從而CM∥EB. 又EB平面PBE，CM平面PBE， 所以CM∥平面PBE. （說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 從而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.[] 所

29、以∠PDA=45. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH. 過(guò)A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45，AE=1， 所以AH=. 在Rt△PAH中，PH== ， 所以sin∠APH= =. 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD. 從而∠PDA是二面角P-CD-A的

30、平面角. 所以∠PDA=45. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2） 設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)， 由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1). 設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = . 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 . 考點(diǎn)：線線平行、線面

31、平行、向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可． 23. 【20xx高考上海理數(shù)】將邊長(zhǎng)為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成

32、圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小。 【答案】（1）．（2）． 試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 由的長(zhǎng)為，可知． ， ． （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則， 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角． 由長(zhǎng)為，可知， 又，所以， 從而為等邊三角形，得． 因?yàn)槠矫妫裕? 在中，因?yàn)?，，，所以? 從而直線與所成的角的大小為． 考點(diǎn)：1.幾何體的體積；2.空間的角. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)

33、化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 24.【20xx高考上海理數(shù)】如圖，在正四棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為3，與底面所成角的大小為，則該正四棱柱的高等于____________. 【答案】 【解析】 試題分析： 由題意得. 考點(diǎn)：1.正四棱柱的幾何特征；2.直線與平面所成的角. 【名師點(diǎn)睛】涉及立體幾何中的角的問題，往往要將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，做出角，構(gòu)建三角形，在三角形中解決問題；也可以通過(guò)建立空間直角

34、坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇不同方法，本題難度不大，能較好地考查考生的空間想象能力、基本計(jì)算能力等. 第二部分 20xx優(yōu)質(zhì)模擬試題 1. 【20xx吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)二，理5】幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 　　B. C. 　D. 【答案】C 【解析】該幾何體可視為長(zhǎng)方體挖去一個(gè)四棱錐，所以其體積為. 故選C. 2. 【20xx安徽省“江南十?！甭?lián)考，理11】某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 3. 【大連市高三

35、雙基測(cè)試卷,理5】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個(gè)命題,錯(cuò)誤的命題是（ ） （A）若,,,則 (B)若,,,則 (C)若,,,則 (D)若,,則// 【答案】D 【解析】A中,過(guò)直線作平面分別與交于,則由線面平行的性質(zhì)知,所以,又由線面平行的性質(zhì)知,所以,正確；B中,由,,知垂直于兩個(gè)平面的交線,則所成的角等于二面角的大小,即為,所以,正確；C中,在內(nèi)取一點(diǎn),過(guò)分別作直線垂直于的交線,直線垂直于的交線,則由線面垂直的性質(zhì)知,,則,,由線面垂直的判定定理知,正確；D 中,滿足條件的也可能在內(nèi),故D錯(cuò),故選D． 4. .【20xx東北三省三校聯(lián)考，理

36、14】已知三棱錐，若，，兩兩垂直，且， ，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為 . 【答案】 5. 【20xx遼寧大連高三雙基測(cè)試卷,理19】如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,.面,且.在棱上,且,在棱上. （Ⅰ）若面,求的值； （Ⅱ）求二面角的大小. 解：（Ⅰ）法一：過(guò)作交于,連接,連接交于,連接. ∵,面,面, ∴面,又,面,面, ∴面面, 又面,∴面, 又面面,面, ∴. 又為中點(diǎn),∴為中點(diǎn),∴, ∴為中點(diǎn), 法二:取中點(diǎn),連接,∵是的菱形, ∴,又面,∴分別以、、 為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. 則 ∴,設(shè)面的一個(gè)法向量, 則由可得,不妨令,則解得, ∴. 設(shè),則, ∵面,∴,即,解得. ∴ （Ⅱ）法一: 過(guò)點(diǎn)作直線交延長(zhǎng)線于,過(guò)點(diǎn)作直線交于,…………8分 ∵面,∴面面,[] ∴面,由三垂線定理可得, ∴是二面角的平面角. 由題易得,且,∴, ∴, ∴二面角的大小為. 法二:接（Ⅰ）法二,顯然面的一個(gè)法向量, ∴, ∴二面角的大小為.