高考數學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第10章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第3節(jié) 二項式定理學案 理 北師大版

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第三節(jié)　二項式定理 [考綱傳真]　(教師用書獨具)會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題． (對應學生用書第173頁) [基礎知識填充] 1．二項式定理 二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋) 二項展開式的通項公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項 二項式系數 二項展開式中各項的系數C(r＝0,1,2，…，n) 2.二項式系數的性質 (1)0≤r≤n時，C與C的關系是. (2)二項式系數先

2、增大后減中間項最大 當n為偶數時，第－1項的二項式系數最大，最大值為；當n為奇數時，第項和項的二項式系數最大，最大值為和. (3)各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＝2n， C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [知識拓展]　二項展開式形式上的特點 (1)項數為n＋1. (2)各項押次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數從C，C，一直到C，C. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯

3、誤的打“”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項．(　　) (2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項．(　　) (3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關．(　　) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.(　　) [解析]　(1)錯誤．應為第k＋1項． (2)錯誤．當a，b中包含數字時，系數最大的項不一定為中間一項或中間兩項． (3)正確．二項式系數只與n和項數有關． (4)錯誤．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128. [答案]　(1)　(2)　(3)√

4、　(4) 2．(教材改編)二項式的展開式中，常數項的值是(　　) A．240　　　　　　 B．60 C．192 D．180 A　[二項式展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)6－r＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常數項為26－2C＝16＝240.] 3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8等于(　　) A．180 B．－180 C．45 D．－45 A　[由題意得a8＝C22(－1)8＝180.] 4．(20xx山東高考)已知(1＋3x)n的展開式中含有x2項的系數是54，則n＝________. 4　[(1＋3x)n的展開

5、式的通項為Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝9Cx2.由題意得9C＝54，解得n＝4.] 5．在的展開式中，x2的系數是________，各項系數之和為________．(用數字作答) 10　243　[x2的系數為C2＝10；令x＝1，得各項系數之和為(1＋2)5＝243.] (對應學生用書第173頁) 二項展開式中的特定項或特定項的系數 ◎角度1　求展開式中的某一項 　(20xx合肥二測)在的展開式中，常數項為________． －5　[由題知，二項式展開式為C(－1)0＋C(－1)＋ C(－1)2＋C(－1)3＋C(－1)4，則常數項為CC－CC＋C

6、＝6－12＋1＝－5.] ◎角度2　求展開式中的項的系數或二項式系數 　(20xx全國卷Ⅰ)(1＋x)6展開式中x2的系數為(　　) A．15　　　　　　 B．20 C．30 D．35 C　[對于(1＋x)6，若要得到x2項，可以在中選取1，此時(1＋x)6中要選取含x2的項，則系數為C；當在中選取時，(1＋x)6中要選取含x4的項，即系數為C，所以，展開式中x2項的系數為C＋C＝30，故選C.] ◎角度3　由已知條件求n的值或參數的值 　(20xx云南二檢)在(－2－1x)n的二項展開式中，若第四項的系數為－7，則n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 B　[由題意

7、，得C＝－7，解得n＝8，故選B.] [規(guī)律方法]　求二項展開式中的特定項的方法 求二項展開式的特定項問題，實質是考查通項Tk＋1＝Can－kbk的特點，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項求解，注意k的取值范圍(k＝0，1，2，…，n). (1)第m項：此時k＋1＝m，直接代入通項； (2)常數項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數為0建立方程； (3)有理項：令通項中“變元”的冪指數為整數建立方程. 特定項的系數問題及相關參數值的求解等都可依據上述方法求解. (4)求特定項或特定項的系數要多從組合的角度求解，一般用通項公式太麻煩. [跟蹤訓練]　(1)(20

8、xx全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 (2)在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中常數項是(　　) 【導學號：79140347】 A．－7 B．7 C．－28 D．28 (3)(20xx西寧檢測(一))若的展開式中，二項式系數和為64，所有項的系數和為729，則a的值為________． (1)C　(2)B　(3)－4或2　[(1)因為x3y3＝x(x2y3)，其系數為－C22＝－40， x3y3＝y(tǒng)(x3y2)，其系數為C23＝80. 所以x3y3的系數為80－40＝40.

9、故選C. (2)由題意知＋1＝5，解得n＝8，的展開式的通項Tk＋1＝C ＝(－1)k2k－8Cx. 令8－＝0得k＝6，則展開式中的常數項為(－1)626－8C＝7. (3)由二項式系數和為64得2n＝64，解得n＝6.令x＝1，得所有項的系數和為(1＋a)6＝729，解得a＝2或a＝－4.] 二項式系數的和或各項系數和 　(1)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為(　　) A．212　　 B．211　　　　C．210　　　　D．29 (2)(20xx全國卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和

10、為32，則a＝________. (1)D　(2)3　[(1)∵(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等， ∴C＝C，解得n＝10. 從而C＋C＋C＋…＋C＝210， ∴奇數項的二項式系數和為C＋C＋…＋C＝29. (2)設(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝232，∴a＝3.] [規(guī)律方法]　賦值法的應用 (1)對形如(ax＋b)n(a，b

11、∈R)的式子求其展開式各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)一般地，對于多項式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則 (a＋bx)n展開式中各項的系數的和為g(1)， (a＋bx)n展開式中奇數項的系數和為[g(1)＋g(－1)]， (a＋bx)n展開式中偶數項的系數和為[g(1)－g(－1)]． [跟蹤訓練]　(1)(20xx合肥一檢)已知(ax＋b)6的展開式中x4項的系數與x5項的系數分別為135與－18，則(ax＋b)6

12、展開式所有項系數之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 (2)(20xx杭州質檢)若的展開式中所有二項式系數和為64，則n＝________；展開式中的常數項是________． (1)D　(2)6　240　[(1)由題意可得 解得或則(ax＋b)6＝(x－3)6，令x＝1得展開式中所有項的系數和為(－2)6＝64，故選D. (2)由的展開式中所有二次項系數和為64，得2n＝64，n＝6，則展開式第r＋1項是Tr＋1＝C(2x)6－r＝C26－r(－1)rx6－3r，當r＝2時為常數項，則常數項是C24(－1)2＝1516＝240.] 二項式定理的應用

13、 　(1)(20xx豫東名校模擬)設復數x＝(i是虛數單位)，則Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　) A．i B．－i C．－1＋i D．－1－i (2)設a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 (1)C　(2)D　[(1)x＝＝－1＋i， Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017 ＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i. (2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝ C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011＋ C(－1)2 012

14、＋a， ∵C522 012－C522 011＋…＋C52(－1)2 011能被13整除． 且512 012＋a能被13整除， ∴C(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除． 因此a可取值12.] [規(guī)律方法]　1.逆用二項式定理的關鍵 根據所給式的特點結合二項展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解. 2.利用二項式定理解決整除問題的思路 (1)觀察除式與被除式間的關系. (2)將被除式拆成二項式. (3)余數是非負整數. (4)結合二項式定理得出結論. [跟蹤訓練]　1.028的近似值是________．(精確到小數點后三位) 【導學號：79140348】 1.172　[1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C0.02＋C0.022＋C0.023≈1.172.]