高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第二節(jié)不等式的證明考綱傳真通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法(對應(yīng)學(xué)生用書第166頁) 基礎(chǔ)知識填充1不等式證明的方法(1)比較法： 求差比較法： 知道a>bab>0，a<bab<0，因此要證明a>b，只要證明ab0即可，這種方法稱為求差比較法求商比較法：由a>b>0>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明1即可，這種方法稱為求商比較法(2)分析法：從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止這種證法稱為分析法，即“

2、執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒ㄟ@種證明不等式的方法稱為綜合法(4)幾何法：通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的解法稱為幾何法(5)放縮法和反證法：在證明不等式時，有時可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法反證法是常用的證明方法它是通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立其證明的步驟是：作出否定結(jié)論的假設(shè)；進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)，肯定結(jié)論2幾個常用基本不等式(1)柯西不等式：

3、柯西不等式的代數(shù)形式：對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2(當(dāng)向量(a，d)與向量(c，d)共線時等號成立)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，an與b1，b2，bn是兩組實數(shù)，則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn)共線時，等號成立(2)算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2，an為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“

4、5;”)(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論()(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實()(4)使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)若ab1，xa，yb，則x與y的大小關(guān)系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3(教材改編)已知ab0，M2a3b3，N2ab

5、2a2b，則M，N的大小關(guān)系為_MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2B4已知a0，b0且ln(ab)0，則的最小值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090380】4由題意得，ab1，a0，b0，(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立5已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因為x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)3·39xy.(對應(yīng)學(xué)生用書第167頁)比較法證明不等式已知

6、a0，b0，求證：.證明法一：()0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分規(guī)律方法1.在法一中，采用局部通分，優(yōu)化了解題過程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明ab轉(zhuǎn)化為證明1(b0)2作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號提醒：在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號變式訓(xùn)練1(20xx·長沙模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實數(shù)，求證：a2b2(ab)證明因為a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因為a0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與ab同號，所以(ab)0，所以a2b2

7、(ab).10分綜合法證明不等式(20xx·長春模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.5分(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，則abc，所以1.10分規(guī)律方法1.綜合法證明的實質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“，”或“”2綜合法證明不等式，要著力

8、分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵變式訓(xùn)練2(20xx·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足abcm，求證：3. 【導(dǎo)學(xué)號：00090381】解(1)當(dāng)x1時，f(x)2(x1)(x2)3x3；2分當(dāng)1x2時，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；當(dāng)x2時，f(x)2(x1)(x2)3x6.綜上，f(x)的最小值m3.5分(2)證明：a，b，c均為正實數(shù)，且滿足abc3，因為(abc)22(abc).8分(當(dāng)且僅當(dāng)abc1時取“”)所以abc，

9、即3.10分分析法證明不等式(20xx·全國卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明(1)a，b，c，d為正數(shù)，且abcd，欲證，只需證明()2()2，也就是證明ab2cd2，只需證明，即證abcD由于abcd，因此.5分(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cD因為abcd，所以ab>cD由(1)，得>.8分若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因為abcd，所以ab>cD于是(

10、ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件.10分規(guī)律方法1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，由于兩個不等式兩邊都是正數(shù)，可通過兩邊平方來證明2當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆3分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為：變式訓(xùn)練3已知abc，且abc0，求證：A證明要證a，只需證b2ac3a2.abc0，只需證b2a(ab)3a2，只需證2a2abb20，4分只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0，(ab)(ac)0顯然成立，故原不等式成立.10分