2、遞減區(qū)間是( )
A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)
B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)
C.[6k,6k+3](k∈Z)
D.[6k-3,6k](k∈Z)
3.若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移π12個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為( )
A.x=kπ2-π6(k∈Z) B.x=kπ2+π6(k∈Z)
C.x=kπ2-π12(k∈Z) D.x=kπ2+π12(k∈Z)
4.(20xx天津,理4)設(shè)θ∈R,則“θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.函數(shù)f
3、(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖象關(guān)于直線x=π3對稱,若它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心是( )
A.π3,1 B.π12,0
C.5π12,0 D.-π12,0
6.(20xx北京,理12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α=13,則cos(α-β)= .
7.定義一種運(yùn)算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(3,2sin x)?(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為
4、 .
8.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則f(x)= .
9.已知函數(shù)f(x)=sin x+λcos x的圖象的一個對稱中心是點π3,0,則函數(shù)g(x)=λsin xcos x+sin2x的圖象的一條對稱軸是 .(寫出其中的一條即可)
10.(20xx浙江,18)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(x∈R).
(1)求f2π3的值;
(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
11.已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R.
5、
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值和最小值.
思維提升訓(xùn)練
12.下圖是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象,其中A,B兩點之間的距離為5,則f(-1)等于( )
A.2 B.3 C.-3 D.-2
13.(20xx天津,理7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則( )
A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-
6、11π12
C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24
14.函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
15.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個函數(shù):
①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=2(sin x+cos x);
③f(x)=sin x;④f(x)=2sin x+2.
其中為“互為生成”函數(shù)的是 .(填序號)
16.(20xx江蘇,12)如圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2
7、,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n= .
17.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移π2個單位長度.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程;
(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β.
①求實數(shù)m的取值范圍;
②證明:cos(α-β)=2m25-1.
參考答案
專題能
8、力訓(xùn)練9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
能力突破訓(xùn)練
1.D 解析由題意,為得到函數(shù)y=sin2x-π3=sin2x-π6,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度,故選D.
2.D 解析∵函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(00).
令2kπ+π2≤π3x-π2≤2kπ+3π2,k∈Z.
∴6k+3≤x≤6k+
9、6,k∈Z,∵周期T=6,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[6k-3,6k],k∈Z,故選D.
3.B 解析由題意可知,將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度得y=2sin2x+π12=2sin2x+π6的圖象,令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z).故選B.
4.A 解析當(dāng)θ-π12<π12時,0<θ<π6,∴0
10、“sinθ<12”的充分而不必要條件.故選A.
5.B 解析由題意知T=π,則ω=2.
由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=π3對稱,
得2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),
即φ=-π6+kπ(k∈Z).
∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin2x-π6.
令2x-π6=kπ(k∈Z),則x=π12+k2π(k∈Z).
∴函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為π12,0.故選B.
6.-79 解析方法1:因為角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,根據(jù)三角函數(shù)定義可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-2232+132=
11、-79.
方法2:由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,則cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2132-1=-79.
7.5π12 解析f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+π6,將f(x)的圖象向左平移n個單位對應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=2cos2(x+n)+π6=2cos2x+2n+π6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=kπ2-π12(k∈Z).因為n>0,所以當(dāng)k=1時,n有最小值5π12.
8.2sinπ8x+π4 解析由題意得A=2,
12、函數(shù)的周期為T=16.
∵T=2πω,∴ω=π8,此時f(x)=2sinπ8x+φ.
由f(2)=2,即sinπ82+φ=sinπ4+φ=1,
則π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,
解得φ=2kπ+π4,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π4,
∴函數(shù)的解析式為f(x)=2sinπ8x+π4.
9.x=-π3(答案不唯一) 解析將點π3,0代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+π6,令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.
13、10.解(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,
f2π3=322--122-2332-12,
得f2π3=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,
解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+kπ,2π3+kπ
(k∈Z).
11.解(1)由已知,有
f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32
=1212cos2x+
14、32sin2x-12cos2x
=34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6.
所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)因為f(x)在區(qū)間-π3,-π6上是減函數(shù),在區(qū)間-π6,π4上是增函數(shù),f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34.所以f(x)在區(qū)間-π3,π4上的最大值為34,最小值為-12.
思維提升訓(xùn)練
12.A 解析設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因為A,B兩點之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6.
所以ω=2πT=π3.
又圖象過點(0,1),代入得2sinφ=1,
所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z).
又
15、0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sinπ3x+π6或f(x)=2sinπ3x+5π6.
對于函數(shù)f(x)=2sinπ3x+π6,當(dāng)x略微大于0時,有f(x)>2sinπ6=1,與圖象不符,故舍去.
綜上,f(x)=2sinπ3x+5π6.
故f(-1)=2sin-π3+5π6=2.
13.A 解析由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥142πω,
所以23≤ω<1.所以排除C,D.
當(dāng)ω=23時,f5π8=2sin5π823+φ
=2sin5π12+φ=2,
所以sin5π12+φ=1.
所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z
16、).
因為|φ|<π,所以φ=π12.故選A.
14.D 解析函數(shù)y1=11-x,y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1,0),作出兩個函數(shù)的圖象如圖.
當(dāng)1
17、的四個解析式可得:①f(x)=2sinx+π4,②f(x)=2sinx+π4,③f(x)=sinx,④f(x)=2sinx+2.可知③f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理①f(x)=2sinx+π4的圖象與②f(x)=2sinx+π4的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移π4個單位,再向下平移2個單位即可得到①f(x)=2sinx+π4的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù).
16.3 解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由t
18、anα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.
17.(1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移π2個單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sinx.
從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對稱
19、軸方程為x=kπ+π2(k∈Z).
(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx
=525sinx+15cosx
=5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25.
依題意,sin(x+φ)=m5在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β當(dāng)且僅當(dāng)m5<1,
故m的取值范圍是(-5,5).
②證法一因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,
所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.
當(dāng)1≤m<5時,α+β=2π2-φ,
即α-β=π-2(β+φ);
當(dāng)-5
20、cos(α-β)=-cos2(β+φ)
=2sin2(β+φ)-1
=2m52-1=2m25-1.
證法二因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,
所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.
當(dāng)1≤m<5時,α+β=2π2-φ,
即α+φ=π-(β+φ);
當(dāng)-5