高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標(biāo)數(shù)學(xué)文科高考備考方法策略:專題篇數(shù)列 4一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5一類數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 定理1 對于正項數(shù)列,有:(1)若對N*恒成立,則對N*也恒成立;(2)若對N*恒成立,則對N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理2 對于正項數(shù)列,有:(1)若對N*恒成立,則對N*也恒成立;(2)若對N*恒成立,則對N*也恒成立.定理3 對于數(shù)列,有:(1)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立;(2)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理4 對于數(shù)列,有:(1)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立;(2)若對N*恒成立,則有對N*也恒成立.(請讀者思考:定理2-1,定理2-3的結(jié)論中的等號何時取到

2、?)題1 (高考全國新課標(biāo)卷理科第17題)已知數(shù)列an滿足a11,an13an1.(1)證明是等比數(shù)列,并求an的通項公式;(2)證明:.解 (1)略.(2)只證時的情形.易得,所以.由定理2-2(2),得,所以得欲證成立.題2 (高考全國大綱卷理科第22題)函數(shù)f(x)ln(x1)(a1)(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)a11,an1ln(an1),證明:an.解 (1)(1)易知f(x)的定義域為(1,),f(x).(i)當(dāng)1a0,所以f(x)在(1,a22a)是增函數(shù);若x(a22a,0),則f(x)0,所以f(x)在(0,)是增函數(shù)(ii)當(dāng)a2時,若f(x)0,f(x)0成立當(dāng)且

3、僅當(dāng)x0,所以f(x)在(1,)是增函數(shù). (iii)當(dāng)a2時,若x(1,0),則f(x)0,所以f(x)在(1,0)是增函數(shù);若x(0,a22a),則f(x)0,所以f(x)在(a22a,)是增函數(shù)(2)用數(shù)學(xué)歸納法易證.當(dāng)a2時,由(1)的結(jié)論知,f(x)在(0,3)上是增函數(shù),所以,即,所以.由定理3(2),得.當(dāng)a3時,由(1)的結(jié)論知,f(x)在(0,3)上是減函數(shù),所以,即,所以.由定理3(1),得.所以an.題3 (高考廣東卷理科第19題)設(shè)數(shù)列的前項和為,滿足N*,且成等差數(shù)列.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù),有.解 (1)(過程略).(2)(過

4、程略).(3)只證時的情形.當(dāng)時,得,把這兩式相減,得.由(1),(2)問的答案知,所以N*).所以.由定理2-2(2),得,所以 得欲證成立.題4 (高考安徽卷理科第21題)設(shè)數(shù)列滿足N*,其中為實數(shù).(1)證明:對任意N*成立的充分必要條件是;(2)設(shè),證明:N*;(3)略.證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2):即證,由結(jié)論(1)及定理1(2)知,只需證明,理由是.題5 (高考浙江卷理科第22題)已知函數(shù),數(shù)列的第一項,以后各項按如下方式?jīng)Q定:曲線在點處的切線與經(jīng)過兩點,的直線平行.當(dāng)N*時,求證:(1);(2).證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2):因為,可得,所以由定理1(1)及其證明,得.又,對于數(shù)列用定理1(2)及其證明,得.題6 (1)(高考陜西卷文科第22(3)題)設(shè),比較與的大小,并說明理由.(2)(華約自主招生數(shù)學(xué)試題第7題)(i)設(shè),求證:當(dāng)時,;(ii)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列遞減,且.證明 (1)略.(2)(i)略.(ii)易用數(shù)學(xué)歸納法證得.先證數(shù)列遞減:由(i)的結(jié)論,得,又,所以,即遞減.再證.只證時的情形.由(1)的結(jié)論,可得.再由定理2-2(1),得.題7 設(shè)數(shù)列滿足N),求證:N*).證明 當(dāng)時,得當(dāng)時,.當(dāng)時,得得證明成立.

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