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1、
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2019.5
專題升級(jí)訓(xùn)練 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(立體幾何)
1.下圖是一個(gè)幾何體的直觀圖及它的三視圖(其中正(主)視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側(cè)(左)視圖為直角三角形,尺寸如圖所示).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)若G為BC的中點(diǎn),求證:AE⊥PG.
2. (20xx·吉林通化模擬,19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,N是PB的中點(diǎn),過(guò)A,N,D三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)M.
(1)求證:PD∥平面ANC;
(2)求證:M是PC的中
2、點(diǎn);
(3)若PD⊥底面ABCD,PA=AB,BC⊥BD,證明:平面PBC⊥平面ADMN.
3.如圖,AA1,BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D,E分別是AA1,CB1的中點(diǎn),DE⊥平面CBB1.
(1)證明:DE∥平面ABC;
(2)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1的體積比.
4.如圖所示,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=AD=2,G是EF的中點(diǎn).
[來(lái)源:]
(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求三棱錐A-GBC的體積.
5.已知正四面體ABCD(圖1),沿AB,AC,AD剪開,展成的平面圖形正好是(
3、圖2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的頂點(diǎn)A1,A2,A3重合于四面體的頂點(diǎn)A).
(1)證明:AB⊥CD;
(2)當(dāng)A1D=10,A1A2=8時(shí),求四面體ABCD的體積.
6.如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,D,S分別為PB,AB,BC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面CDM;
(2)求證:SN⊥平面CDM.
7.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面BCC1
4、B1;
(2)求證:MN⊥平面A1B1C;
(3)求三棱錐M-A1B1C的體積.
8.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M,G分別是AB,DF的中點(diǎn).
(1)求證:CM⊥平面FDM;
(2)在線段AD上(含A,D端點(diǎn))確定一點(diǎn)P,使得GP∥平面FMC,并給出證明.
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1.解:(1)由幾何體的三視圖可知,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA⊥面ABCD,PA∥EB,且PA=4,BE=2,AB=AD=CD=CB=4,所以VP-ABCD=PA·S正方形ABCD=×4×4×4=.
(2)證明:連接BP.
因?yàn)?∠EBA=∠BA
5、P=90°,
所以△EBA∽△BAP,所以∠PBA=∠AEB,
所以∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,所以PB⊥AE.
由題易證BC⊥平面APEB,所以BC⊥AE.[來(lái)源:]
又因?yàn)镻B∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,
因?yàn)镻G?平面PBC,所以AE⊥PG.
2.解:證明(1)連接BD,AC,設(shè)BD∩AC=O,連接NO.
∵ABCD是平行四邊形,∴O是BD的中點(diǎn).
在△PBD中,
又N是PB的中點(diǎn),∴PD∥NO.
又NO?平面 ANC,PD?平面ANC,
∴PD∥平面ANC.
(2)∵底面ABCD為平行四邊形,
∴AD∥BC.
6、
∵BC?平面ADMN,AD?平面ADMN,
∴BC∥平面ADMN.
∵平面PBC∩平面ADMN=MN,
∴BC∥MN.
又N是PB的中點(diǎn),∴M是PC的中點(diǎn).
(3)∵PA=AB,N是PB的中點(diǎn),∴PB⊥AN.
∵BC⊥BD,AD∥BC,∴AD⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,
∴PD⊥AD.∵PD∩BD=D,
∴AD⊥平面PBD.∴PB⊥AD.
∵AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN.
∵PB?平面PBC,∴平面PBC⊥平面ADMN.
3.解:(1)證明:[來(lái)源:]
連接EO,OA.
∵E,O分別為B1C,BC的中點(diǎn),
∴EO∥BB1.
7、又DA∥BB1,且DA=EO=BB1.
∴四邊形AOED是平行四邊形,
即DE∥OA.又DE?平面ABC,AO?平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(2)解:由題意知DE⊥平面CBB1,且由(1)知DE∥OA,
∴AO⊥平面CBB1,∴AO⊥BC,
∴AC=AB.因BC是底面圓O的直徑,得CA⊥AB.而AA1⊥CA,AA1∩AB=A,∴CA⊥平面AA1B1B,即CA為四棱錐的高.
設(shè)圓柱高為h,底面半徑為r,
則V柱=πr2h,V錐=h(r)·(r)=hr2,∴V錐∶V柱=.
4.解:(1)證明:∵G是矩形ABEF的邊EF的中點(diǎn),∴AG=BG==2,
從而得:AG2+
8、BG2=AB2,∴AG⊥BG.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,且BC⊥AB,
∴BC⊥平面ABEF.∵AG?平面ABEF,
∴BC⊥AG.
∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面BGC,
∵AG?平面AGC,
∴平面AGC⊥平面BGC.[來(lái)源:]
(2)解:由(1)得BC⊥平面ABEF,∴CB是三棱錐A-GBC的高.
而S△ABG=×2×2=4,
∴VA-GBC=VC-ABG=×4×4=.
5.解:(1)證明:在四面體ABCD中,
?AB⊥平面ACD?AB⊥CD.
(2)解:在題圖2中作DE⊥A2A
9、3于點(diǎn)E.
∵A1A2=8,
∴DE=8.
又∵A1D=A3D=10,∴EA3=6,A2A3=10+6=16.
又A2C=A3C,∴A2C=8.即題圖1中AC=8,AD=10,
由A1A2=8,A1B=A2B得題圖1中AB=4.
∴S△ACD=DE·A3C=×8×8=32.
又∵AB⊥面ACD,∴VB-ACD=×32×4=.
6.解:證明:(1)在三棱錐P-ABC中,因?yàn)镸,D分別為PB,AB的中點(diǎn),[來(lái)源:]
所以MD∥PA.
因?yàn)镸D?平面CMD,PA?平面CMD,所以PA∥平面CMD.
(2)因?yàn)镸,D分別為PB,A
10、B的中點(diǎn),所以MD∥PA.
因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以MD⊥平面ABC.
又SN?平面ABC,所以MD⊥SN.
在△ABC中,連接DS,因?yàn)镈,S分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DS∥AC且DS=AC.
又AB⊥AC,所以∠ADS=∠BAC=90°.
因?yàn)锳C=AB,所以AC=AD,所以∠ADC=45°,因此∠CDS=45°.
又AB=4AN,所以DN=AD=AC,即DN=DS,故SN⊥CD.
又MD∩CD=D,所以SN⊥平面CMD.
7. 解:(1)證明:連接BC1,AC1.由題知點(diǎn)N在AC1上且為AC1的中點(diǎn).
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),
∴MN∥
11、BC1.
又∵M(jìn)N?平面BCC1B1,
∴MN∥平面BCC1B1.
(2)證明:∵三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∴四邊形BCC1B1是正方形,
∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C.
連接A1M,由∠ABC=∠MAA1=90°,BM=AM,BC=AA1得△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM.又N是A1C的中點(diǎn),∴MN⊥A1C.
∵B1C與A1C相交于點(diǎn)C,∴MN⊥平面A1B1C.
(3)解:由(2)知MN是三棱錐M-A1B1C的高.在直角△MNC中,MC=,NC=,
∴MN=.
又=2,∴MN·.
8.解:由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=a.
(1)證明:∵FD⊥平面ABCD,CM?平面ABCD,
∴FD⊥CM.
在矩形ABCD中,CD=2a,AD=a,M為AB的中點(diǎn),DM=CM=a,∴CM⊥DM.
∵FD?平面FDM,DM?平面FDM,FD∩DM=D,
∴CM⊥平面FDM.
(2)點(diǎn)P在A點(diǎn)處.
證明:取DC中點(diǎn)S,連接AS,GS,GA,
∵G是DF的中點(diǎn),∴GS∥FC.
又AS∥CM,AS∩AG=A,
∴平面GSA∥平面FMC.而GA?平面GSA,
∴GP∥平面FMC.
解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(立體幾何)
