《高中數學人教A版必修四教學案：第二章 章末小結與測評 含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學人教A版必修四教學案：第二章 章末小結與測評 含答案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、人教版高中數學必修精品教學資料 1平面向量的線性運算及運算律 (1)向量加法是由三角形法則定義的,要點是“首尾相連”,即 向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點,分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點對角線的向量即為向量的和 加法滿足交換律、結合律 (2)向量減法實質是向量加法的逆運算,是相反向量的作用 幾何意義有兩個：一是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量注意兩向量要移至共起點 (3)數乘運算即通過實數與向量的乘積,實現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換 2向量共線及平面向量基本定理 (1)共線向量定理：向量 a(a0)與 b 共線,
2、當且僅當有唯一一個實數 ,使得 ba. 共線向量定理是證明平行的主要依據,也是解決三點共線問題的重要方法 特別地,平面內一點 P 位于直線 AB 上的條件是存在實數 x,使,或對直線外任意一點 O,有 (2)平面向量基本定理：如果向量 e1,e2不共線,那么對于平面內的任一向量 a,有且只有一對實數 1,2,使 a1e12e2.其中 e1,e2是平面的一組基底,e1,e2分別稱為基向量 由定理可知,平面內任一向量都可以用兩個不共線的向量表示出來,而且任意兩個不共線的非零向量都可以作為基底 典例 1 如圖,梯形 ABCD 中,ABCD,點 M、 N 分別是 DA、 BC 的中點,且DCABk,設
3、e1,e2,以 e1、e2為基底表示向量、 對點訓練 (3)確定點 P 在邊 BC 上的位置 所以113，121，解得45，35. 所以mn51，m2n5，解得m23，n53. 即BPPC2,P 是邊 BC 上靠近 C 的三等分點. 若 a(a1,a2),b(b1,b2),則 ab(a1b1,a2b2)； ab(a1b1,a2b2)； a(a1,a2)； a ba1b1a2b2； aba1b1,a2b2(R),或a1b1a2b2(b10,b20)； aba1b1a2b20； |a| a a a21a22； 若為 a 與 b 的夾角,則 cos a b|a|b|a1b1a2b2a21a22b21
4、b22 . 典例 2 (1)已知點 A(1,3),B(4,1),則與向量同方向的單位向量為( ) A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 (2)已知向量 a(1,m),b(m,2), 若 ab, 則實數 m 等于( ) A 2 B. 2 C 2或 2 D0 (3)已知點 A(1,1)、 B(1,2)、 C(2,1)、 D(3,4),則向量在方向上的投影為( ) A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 解析：(1)由已知,得(3,4), 所以|5, 因此與同方向的單位向量是1535，45. (2)ab 的充要條件的坐標表示為 12m20,m 2,選 C.
5、(3) (2,1),(5,5),向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos,| 答案：(1)A (2)C (3)A 對點訓練 2(1)若 A(3,6),B(5,2),C(6,y)三點共線,則 y( ) A13 B13 C9 D9 (2)已知向量 a(1,2),b(2,4),|c| 5,若(cb) a152,則 a 與 c 的夾角為( ) A30 B60 C120 D150 解析：(1) (8,8),(3,y6) ,8(y6)240.y9. (2)a b10, 則(cb) ac ab ac a10152, 所以 c a52, 設 a 與 c 的夾角為 , 則 cos a c|a| |c|525
6、 512,又 0,180, 所以 120. 答案：(1)D (2)C 1兩向量的數量積及其運算律 兩個向量的數量積是 a b|a|b|cos ,為 a 與 b 的夾角,數量積滿足運算律： 與數乘的結合律,即(a) b(a b)； 交換律,即 a bb a； 分配律,即(ab) ca cb c. 2平面向量的數量積是向量的核心內容,向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置關系,而向量的夾角、長度是向量的數量特征 3利用向量的數量積可以證明兩向量垂直、平行,求兩向量的夾角,計算向量的長度等 典例3 已知cmanb,c(2 3,2),ac,b與c的夾角為23,b c4,|a|2 2,求實數 m,
7、n 的值及 a 與 b 的夾角 . 解：c(2 3,2),|c|4. ac,a c0. b c|b|c|cos 23|b|4124, |b|2. cmanb,c2ma cnb c. 16n(4)n4. 在 cmanb 兩邊同乘以 a, 得 08m4a b. 在 cmanb 兩邊同乘以 b,得 ma b12. 由,得 m 6. a b 2 6.cos 2 62 2232. 6或56. 對點訓練 3.如圖,在ABC中,O為中線AM上的一個動點,若AM2,則的最小值是_ 答案：2 (時間：120 分鐘 滿分：150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分,在每小題給出的
8、四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1在五邊形 ABCDE 中(如圖),( ) 解析：選 B . 2已知平面向量 a(1,2),b(2,m),且 ab,則 2a3b( ) A(5,10) B(4,8) C(3,6) D(2,4) 解析：選 B ab,21m2,m4, b(2,4), 2a3b2(1,2)3(2,4)(4,8) 3已知平面向量 a(1,3),b(4,2),若 ab 與 a 垂直,則 的值是( ) A1 B1 C2 D2 解析：選 A 由題意可知(ab) aa2b a0. |a| 10,a b14(3)(2)10, 10100,1. 4若|a| 2,|b|2,且(ab)a,則
9、a 與 b 的夾角是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解析：選 B 由于(ab)a,所以(ab) a0,即|a|2a b0,所以 a b|a|22,所以 cosa,ba b|a|b|22 222,即 a 與 b 的夾角是4. A.12 B12 C.32 D32 6已知向量滿足：|a|2,|b|3,|ab|4,則|ab|( ) A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 解析：選 C 由題意|ab|2a2b22a b16, a b32. |ab|2a2b22a b10, |ab| 10. A內心 B外心 C垂心 D重心 P 是ABC 的垂心 8平面向量 a(x,3),b(2,1),c(1,
10、y),若 a(bc),b(ac),則 b 與 c 的夾角為( ) A0 B.4 C.2 D.34 解析：選 C 由題意知 bc(3,1y),ac(x1,y3), 依題意得3x3（1y）0，x12（y3）0， 解得x1，y2，c(1,2), 而 b c21120, bc. 9 已知 AD,BE 分別為ABC 的邊 BC,AC 上的中線,設a,b,則等于( ) A.43a23b B.23a43b C.23a43b D23a43b A.0，3 B.3，56 C.2，23 D.23，56 11已知 a(1, 3),ab,ab,若AOB 是以 O 為直角頂點的等腰直角三角形,則AOB 的面積是( ) A
11、. 3 B2 C2 2 D4 解析：選 D 由題意|且, 所以(ab)2(ab)2且(ab) (ab)0, 所以 a b0,且 a2b2, 所以|a|b|2, 所以 SAOB12| |12（ab）2（ab）212 （a2b2）24. 12已知向量 m(a,b),n(c,d),p(x,y),定義新運算 mn(acbd,adbc),其中等式右邊是通常的加法和乘法運算如果對于任意向量 m 都有 mpm 成立,則向量 p 為( ) A(1,0) B(1,0) C(0,1) D(0,1) 解析：選 A 因為 mpm, 即(a,b)(x,y)(axby,aybx)(a,b), 所以axbya，aybxb，
12、 即a（x1）by0，ayb（x1）0. 由于對任意 m(a,b), 都有(a,b)(x,y)(a,b)成立 所以x10，y0，解得x1，y0. 所以 p(1,0)故選 A. 二、填空題(本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分) 13已知向量 a(2x3,2x),b(3x,2x)(xR)則|ab|的取值范圍為_ 解析：因為 ab(x,x2), 所以|ab|x2（x2）2 2x24x4 2（x1）22 2, 所以|ab| 2,) 答案： 2,) 14設 e1,e2為兩個不共線的向量,若 ae1e2與 b(2e13e2)共線,則實數 等于_ 解析：因為 a,b 共線, 所以由向量共線定理
13、知,存在實數 k,使得 akb, 即 e1e2k(2e13e2)2ke13ke2 又因為 e1,e2不共線, 所以12k，3k，解得 32. 答案：32 15 在邊長為 2 的菱形 ABCD 中,BAD60 ,E 為 CD 的中點,則_ 解析：以 A 為原點,AB 所在的直線為 x 軸,過 A 且垂直于 AB 的直線為 y 軸建立平面直角坐標系 則由 A(0,0),B(2,0),E(2, 3),D(1, 3,可得1. 答案：1 答案：1,4 三、解答題(本大題共 6 小題,共 70 分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17(10 分)已知平面向量 a(1,x),b(2x3,x),xR
14、. (1)若 ab,求 x 的值； (2)若 ab,求|ab|. 解：(1)若 ab,則 a b(1,x) (2x3,x) 1(2x3)x(x)0. 整理得 x22x30,解得 x1 或 x3. (2)若 ab,則有 1(x)x(2x3)0, 即 x(2x4)0,解得 x0 或 x2. 當 x0 時,a(1,0),b(3,0), ab(2,0),|ab|2； 當 x2 時,a(1,2),b(1,2), ab(2,4),|ab| 4162 5. 綜上所述,|ab|為 2 或 2 5. 18(12 分)設向量 a(cos ,sin )(02),b12，32,且 a 與 b 不共線 (1)求證：(a
15、b)(ab)； (2)若向量 3ab 與 a 3b 的模相等,求角 . 解：(1)證明：由題意,得 abcos 12，sin 32, abcos 12，sin 32, 因為(ab) (ab)cos214sin234110,所以(ab)(ab) (2)因為向量 3ab 與 a 3b 的模相等, 所以( 3ab)2(a 3b)2, 所以|a|2|b|22 3a b0,因為|a|1,|b|1223221, 所以|a|2|b|2,所以 a b0, 所以12cos 32sin 0, 所以 tan 33, 又因為 02, 所以 6或 76. 19 (12 分)如圖,平行四邊形 ABCD 中,a,b,H,M
16、 是 AD,DC 的中點,BF13BC, (1)以 a,b 為基底表示向量 (2)若|a|3,|b|4,a 與 b 的夾角為 120,求 解：(1)M 為 DC 的中點, (2)由已知得 a b34cos 1206, 12a21112a b16b2 12321112(6)1642 113. 20(12 分)在邊長為 1 的正ABC 中,AD 與 BE 相交于點 F. 解：(1)由題意,D 為 BC 邊的中點,而ABC 是正三角形,所以 ADBC, 12(ab)23ba 13b212a216a b 131216111214. 根據平面向量的基本定理有22（1），2（1）23， 解得4. 21(1
17、2 分)在平面直角坐標系中,O 為坐標原點,已知向量 a(1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksin ,t)02. t2ksin 16. tsin (2ksin 16)sin 2ksin 4k232k, k4,14k0, 當 sin 4k時,tsin 取最大值為32k. 由32k4,得 k8,此時 6,(4,8), (8,0) (4,8)32. 22 (12分 ) 已 知e1,e2是 平 面 內 兩 個 不 共 線 的 非 零 向量,且 A,E,C 三點共線 (1)求實數 的值； (2)若 e1(2,1),e2(2,2),求的坐標； (3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點按逆時針順序構成平行四邊形,求點A的坐標 解：(1) (2e1e2)(e1e2)e1(1)e2. A,E,C 三點共線, 存在實數k,使得,即e1(1)e2k(2e1e2),得(12k)e1(k1)e2. e1,e2是平面內兩個不共線的非零向量, 12k0，k1，解得 k12,32. (2) 3e112e2(6,3)(1,1)(7,2) (3)A,B,C,D 四點按逆時針順序構成平行四邊形, 即點 A 的坐標為(10,7)
高中數學人教A版必修四教學案：第二章 章末小結與測評 含答案
