一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十章 第三節(jié)　合情推理與演繹推理 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；

2、 ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“＝”類比得到“＝”． 以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是________． 解析：只有①②正確，其余錯誤． 答案：2 2．請閱讀下列材料： 若兩個正實數(shù)a1，a2滿足a＋a＝1，那么a1＋a2≤. 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤. 根據(jù)上述證明方法，若n個正實數(shù)滿足a＋a＋…＋a＝1時，你能得到的結(jié)論為_

3、_______．(不必證明) 解析：設(shè)g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1， ∵g(x)≥0對x∈R恒成立， ∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0， ∴a1＋a2＋…＋an≤. 答案：a1＋a2＋…＋an≤ 3．如圖，第(1)個多邊形是由正三角形“擴展”而來，第(2)個多邊形是由正四邊形“擴展”而來，……如此類推．設(shè)由正n邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)為an，則a6＝________；＋＋＋…＋＝________. 解析：an＝n(n＋1)，∴a6＝6×7＝42. ＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝－

4、＋－＋…＋－＝－＝. 答案：42　 4．對于等差數(shù)列{an}，有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1＝0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有(s－1)at＝(t－1)as”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個正確命題：“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.” 答案：若{bn}是等比數(shù)列，b1＝1，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有b

5、＝b 5．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2)，其余每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如 ＝＋，＝＋，＝＋，…，則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為________． 解析：由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個數(shù)為，由“其余每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個數(shù)為－＝，同理易知，第7行第3個數(shù)為－＝，第7行第4個數(shù)為－＝. 答案： 6．觀察下列等式： 32＋42＝52， 102＋112＋122＝132＋142， 212＋222＋232＋242＝252＋262＋272， 362＋

6、372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442， …… 由此得到第n(n∈N*)個等式為________． 解析：由歸納推理直接寫出即可． 答案：(2n2＋n)2＋(2n2＋n＋1)2＋…＋(2n2＋n＋n)2＝(2n2＋2n＋1)2＋(2n2＋2n＋2)2＋…＋(2n2＋2n＋n)2 7．兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin(π＋α)＝0；三點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為________． 解析：類比推理可知，四點等分單位圓時，α與α＋π的終邊互為反向延

7、長線，α＋與α＋的終邊互為反向延長線，如圖． 答案：sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0 8．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC的重心，則＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等”，則＝________. 解析：由題知，O為正四面體的外接球、內(nèi)切球球心，設(shè)正四面體的高為h，由等體積法可求內(nèi)切球半徑為h，外接球半徑為h，所以＝3. 答案：3 9.正方形ABCD的邊長是a，依次連結(jié)正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再

8、依次連結(jié)新正方形各邊中點又得到一個新的正方形，依此得到一系列的正方形，如圖所示．現(xiàn)有一只小蟲從A點出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段．則這10條線段的長度的平方和是________． 解析：由題可知，這只小蟲爬行的第一段長度的平方為a＝(a)2＝a2，第二段長度的平方為a＝(a)2＝a2，…，從而可知，小蟲爬行的線段長度的平方可以構(gòu)成以a＝a2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前10項和為S10＝＝a2. 答案：a2 二、解答題 10．通過觀察下列等式，猜想出一個一般性結(jié)論，并證明結(jié)論的真假． sin

9、230°＋sin290°＋sin2150°＝； sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝； sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝； sin215°＋sin275°＋sin2135°＝. 解析：猜想：sin2(α－)＋sin2α＋sin2(α＋)＝. 證明：∵左＝(sin αcos－cos αsin)2＋sin2α＋(sin αcos＋cos αsin)2 ＝(sin2α＋cos2α)＝＝右，∴待證式成立． 11．圓x2＋y2＝R2(R

10、>0)上任一點P(不在x軸上)，與圓上兩點A(－R,0)，B(R,0)的連線PA， PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB＝－1，類比這個命題，寫出橢圓＋＝1(a>b>0)中對應(yīng)的命題，并加以證明． 解析：命題：對橢圓＋＝1(a>b>0)上任一點P(不在x軸上)，與橢圓上兩點A(－a,0)，B(a,0)的連線PA，PB的斜率kPA，kPB有下面的等式成立：kPAkPB＝－. 證明：設(shè)P(x，y)，則有＋＝1，kPA＝，kPB＝，∴kPAkPB＝＝(1－)＝－. 12．小朋用第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”擺出如圖(1)、(2)、(3)、

11、(4)這四個圖案，現(xiàn)按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個圖形包含f(n)個“福娃迎迎”． (1)試寫出f(5)、f(6)的值； (2)歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并求出f(n)的表達式； (3)求證：＋＋＋…＋<. 解析：(1)f(5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41， f(6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61. (2)因為f(2)－f(1)＝3＋1＝4，f(3)－f(2)＝5＋3＝8， f(4)－f(3)＝7＋5＝12，…，歸納得f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，則f(n＋1)－f(n)＝4n. f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1) ＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝2n2－2n＋1. (3)證明：當(dāng)k≥2時，＝<＝(－)．則＋＋＋…＋<1＋·[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)<1＋＝.