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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第4講 直線與圓的綜合求解策略
例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．
審題破題 (1)求出圓上三點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)靈活設(shè)出圓的方程；(2)將直線和圓的方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化已知條件求出a的值．
解 (1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)，
2、
則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，
解得t＝1.
則圓C的半徑為＝3.
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.
設(shè)x1，x2是方程的兩根，
從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，
可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.
構(gòu)建答
3、題模板
第一步：求出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(兩條坐標(biāo)軸)；
第二步：求出圓心和半徑并且寫出圓的方程；
第三步：將直線和圓的方程聯(lián)立；
第四步：求出聯(lián)立后方程的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系；
第五步：根據(jù)垂直的等價(jià)條件——數(shù)量積為零求出字母a的值.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5 已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
解 (1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，
所以圓心為C(0,4)，半徑為4.
設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由題設(shè)知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓．
由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上．
又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－，
故l的方程為y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，
O到l的距離為，
|PM|＝，
所以△POM的面積為.
【大師特稿】高考數(shù)學(xué)答題模板：第4講直線與圓的綜合求解策略含解析
