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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
“數(shù)列”類題目的審題技巧與解題規(guī)范
[對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P86]
[技法概述]
有的數(shù)學(xué)題條件并不明顯,而寓于概念、 存于性質(zhì)或含于圖中,審題時(shí),就要注意深入挖掘這些隱含條件和信息,解題時(shí),可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯(cuò)誤.
[適用題型]
在高考中,有以下幾種解答題用到此種審題方法:
1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),應(yīng)注意函數(shù)定義域;
2.求等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)注意公比q的值,研究數(shù)列的性質(zhì)時(shí),應(yīng)注意n的取值;
3.觀察三視圖時(shí),應(yīng)注意平行與垂直.
[典例] (20xx湖北高考
2、)(本題滿分12分)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說(shuō)明理由.
1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1-2,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,且b1,b3,b11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,
3、
又a1=S1=21+1-2=2=21,也滿足上式,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.
b1=a1=2,設(shè)公差為d,則由b1,b3,b11成等比數(shù)列,
得(2+2d)2=2(2+10d),
解得d=0(舍去)或d=3,
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-1.
(2)由(1)可得Tn=+++…+
=+++…+,
2Tn=2+++…+,
兩式相減得
Tn=2+++…+-,
Tn=2+-=5-.
2.已知數(shù)列{an}滿足an+1=,且a1=2.
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,若是,請(qǐng)給予證明,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若bn=n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T
4、n.
解:(1)數(shù)列是等差數(shù)列,理由如下:
∵an+1=,an≠0,∴=+,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,=+(n-1)=,
bn=n=n=(n+1)n,
∴Tn=2+32+43+…+(n+1)n,①
Tn=22+33+44+…+(n+1)n+1.②
①-②得Tn=1+2+3+…+n-(n+1)n+1=1+-(n+1)n+1=-,∴Tn=3-.
3.(20xx皖南八校聯(lián)考)將數(shù)列{an}中所有的項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
記表中的第1列數(shù)a1,a2,a4
5、,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足=1(n≥2,n∈N+).
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)上表中,若從第3行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)a81=-時(shí),求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和.
解:(1)由已知,當(dāng)n≥2時(shí),=1,
又bn=Sn-Sn-1,所以=1,
即=1,所以-=.
又S1=b1=a1=1,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.
故=1+(n-1)=,即Sn=.
所以當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=-=-.
因此bn=
(2)設(shè)表中從第3行起,每行的公比都為q,且q>0.
因?yàn)?+2+…+12==78,
所以表中第1行至第12行含有數(shù)列{an}中的前78項(xiàng),
故a81在表中第13行第3列,
因此a81=b13q2=-.又b13=-,
所以q=2(舍去負(fù)值).
記表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和為S,
則S==-=(1-2k)(k≥3).