高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 1.3 相似三角形的判定及性質(zhì)教案 新人教A版選修41

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1、 相似三角形的判定與性質(zhì) 教學(xué)目標： 知識與技能：復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，證明直角三角形射影定理。 過程與方法：以“平行線分線段成比例定理”為起點，給出相似三角形定義后，逐步討論相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。 情感態(tài)度價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點：相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。 教學(xué)難點：相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。 課時　　3課時 一．基礎(chǔ)知識回顧 1、如圖15-14，ΔABC中，∠1=∠B，則Δ ∽Δ ．此時若AD=3，BD=2，則AC= ． 答案: ACD，A

2、BC，； 2、兩個三角形相似，它們的周長分別是12和18，周長較小的三角形的最短邊長為3，則另一個三角形的最短邊長為 ． 答案:. 3、如圖15-15，CD是RtΔABC的斜邊上的高．（1）若AD=9，CD=6，則BD= ； （2）若AB=25，BC=15，則BD= ． 答案:4；9. 4、如圖15-16，已知∠1=∠2，請補充條件： （寫一個即可）， A C B 圖15-16 E ╮ ╮ 1 2 A C B D ╭ 1 圖15-14 使得ΔA

3、BC∽ΔADE． ┐ A B C D 圖15-15 D 答案:∠B=∠D（或∠C=∠E，或）． 二．典型例題講解 例1．如圖15-17，A、B、C、D在一條直線上，EA⊥AD，垂足為A，AB=BC=CD=AE． 求證：ΔBCE∽ΔBED． ┐ A B C D E 圖15-17 分析：ΔBCE與ΔBED有一個公共角，因此只要再找一對角對應(yīng)相等或證明夾這個公共角的兩邊成比例． 證明：設(shè)AB=a，在RtΔABE中，AB=AE=a， ∴BE==a． 在ΔBCE和ΔBED中，

4、 ∵，， ∴． 又∵∠CBE=∠EBD， ∴ΔBCE∽ΔBED． 評析：三角形相似的證明方法很多，解題時應(yīng)根據(jù)條件，結(jié)合圖形選擇恰當?shù)姆椒ǎ话愕乃伎汲绦蚴牵合日覂蓪?nèi)角對應(yīng)相等；若只有一個角對應(yīng)相等，再判定夾這個角的兩邊是否對應(yīng)成比例；若無角對應(yīng)相等，就證明三邊對應(yīng)成比例． 例2．如圖15-18，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且． 求證：∠AEF=∠FBD． 分析：∠AEF是RtΔAEF的一個銳角，因此要證明∠AEF=∠FBD，可以通過證明 A B C D

5、 M F E 圖15-18 三角形相似得到． 證明：過點F作FM⊥BD于點M． 設(shè)正方形的邊長為a，則BD=a． ∵， ∴EB=AF=a，AE=DF=a． 在RtΔDMF中，EM=DM=DF=a， ∴BM=a－a=a． 在RtΔAEF和RtΔMBF中， ∵，， ∠A=∠BMF=90， ∴ΔAEF∽ΔMBF． 　　　∴∠AEF=∠FBD． 評析：本題的難點是構(gòu)造含∠AEF和∠FBD的相似三角形．在含正方形的有關(guān)證明中，常借助正方形的性質(zhì)采用計算法證明． ┐

6、A B D C E F G H 圖15-19 例3．如圖15-19，AD、BE是ΔABC的兩條高，DF⊥AB，垂足為F，直線FD交BE于點G，交AC的延長線于H．求證：DF2=GFHF． 分析：由于DF，GF，HF三條線段在同一條直線上，因此想直 接得到關(guān)系式比較困難，考慮用第三個量作代換． 證明：在ΔAFH與ΔGFB中， ∵∠H＋∠BAC=90，∠GBF＋∠BAC=90， ∴∠H=∠GBF． ∵∠AFH=∠GFD=90， 　　　　　　∴ΔAFH∽ΔGFB． ∴，∴AFBF=GFHF．

7、 ∵在RtΔABD中，F(xiàn)D⊥AB， ∴DF2=AFBF． ∴DF2=GFHF． 評析：本題涉及兩個基本圖形：含斜邊上高的直角三角形，含兩條高的銳角三角形．含兩條高的銳角三角形是相似形中的基本圖形，圖中有多對相似三角形，在解題時要充分利用圖形提供的有效信息，選擇有用的條件和結(jié)論．另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性質(zhì)在直角三角形中的應(yīng)用，在解題中使用十分頻繁． 三．精選試題演練 1、已知，如圖15-20，在平行四邊形ABCD中，DB是對角線，E是AB上一點，連結(jié)CE且延長和DA的延長線交于F，則圖中相似三角形的對數(shù)是（ ）．

8、 A．2 B．3 C．4 D．大于4 答案: D. 2、如圖15-21，已知ΔABC中，BC=30，高AD=18，EFGH是ΔABC的內(nèi)接矩形，EF=12，則GF=（ ）． A．7.2 B．10.8 C．12 D．9 答案:B. A F E B C G D 圖15-20 圖15-21 A B C D E F G H ┐ A D E C B F G 圖15-22 3、如圖15-22，ED∥FG∥BC，且DE，F(xiàn)G把ΔABC的面積分為相等的三部分，若BC=15，則FG的長為（

9、 ）． A．5 B．10 C．4 D．7.5 答案:A. 4、如圖15-23，已知矩形ABCD中，∠AEF=90，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）． A．ΔABF∽ΔAEF B．ΔABF∽ΔCEF C．ΔCEF∽ΔDAE D．ΔADE∽ΔAEF 答案:C. A B C D E F 圖15-23 D A ┐ C B E 圖15-24 5、如圖15-24，在RtΔABC中，∠C=90，D是BC中點，DE⊥AB，垂足為E，∠B=30，AE=7．求DE的長． 答案:. 6、如

10、圖15-25，四邊形ACBD中，E是CD上一點，且∠DAB=∠EAC，．∠DBA=∠ECA． 圖15-25 D A C B E 求證：ΔADE∽ΔABC． 提示：先證明ΔABD∽ΔACE，可得，再證明∠DAE=∠BAC； 圖15-26 C A M B D 7、如圖15-26，在ΔABC中，∠ACB=90，M是BC的中點，CD⊥AM，垂足為D． 求證：ΔAMB∽ΔBMD． 提示：由直角三角形射影定理得CM2=DMAM，從而有BM2= DMAM，即，又∠AMB是公共角，可得結(jié)論； 8、如圖15-27，已知RtΔABC中，∠C=90，AC=

11、3cm，BC=4cm，在該直角三角形中作內(nèi)接正方形，使其頂點均在ΔABC的邊上，求正方形的邊長． ┐ A C B 圖15-27 提示：要分兩種情況，（1）正方形的一個頂點在斜邊上，一個頂點與C點重合，正方形的邊長為cm；（2）正方形的一條邊在斜邊上，正方形的邊長為cm； 9、如圖15-28，已知直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90，設(shè)AB=a，AD=b，BC=2b，作 DE⊥DC，交AB于點E，連結(jié)EC． （1）對于①ΔDCE與ΔADE；②ΔADE與ΔBCE，試判斷各組的三角形是否一定相似； （2）如果兩個三角形一定相似，請加以證明； （3）如果不一定相似，請

12、指出它們相似時，a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系． A E D C B 圖15-28 答案:（1）ΔDCE與ΔADE一定相似，ΔADE與ΔBCE不一定相似； （2）提示：作DF⊥BC，垂足為F，利用RtΔADE∽RtΔFDC得到， 則AE=，用勾股定理可以計算得ED=，從而可以得到， 可以證得RtΔDCE與RtΔADE； （3）提示：利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以計算得，當ΔADE∽ΔBCE時，a=． 四．教學(xué)反思 相似三角形的定義、判定和性質(zhì)是初中已學(xué)的內(nèi)容，但在初中平面幾何中沒有給出定理的證明，通過本講知識的學(xué)習(xí)可以體會邏輯推理、幾何證明的重要性，在解題過程中應(yīng)注意觀察基本圖形與定理間的關(guān)系，通過尋找基本圖形把已知和未知聯(lián)系起來，先明確需要證明哪兩個三角形相似，再尋找三角形相似的條件，從而發(fā)現(xiàn)證題思路． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375