高中物理 第1章 機(jī)械振動(dòng) 第3節(jié) 單擺知識(shí)導(dǎo)航素材 魯科版選修34

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1、 第3節(jié)單擺 思維繳活 在現(xiàn)代家庭中，經(jīng)常見(jiàn)到落地鐘表、擺鐘等各種形式的機(jī)械鐘表，它們有著共同的部件——鐘擺.如圖1-3-1所示.不同類型的鐘擺雖然擺動(dòng)的快慢不同，但都在做等幅振動(dòng)，那么應(yīng)該怎樣描述它們的運(yùn)動(dòng)呢？鐘擺計(jì)時(shí)的原理又是什么？ 圖1-3-1 提示：鐘擺計(jì)時(shí)是利用單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的等時(shí)性原理. 自主整理 一、單擺的運(yùn)動(dòng) 1.單擺的理想化模型：一根不可伸長(zhǎng)且___________的細(xì)線懸掛一__________的裝置，叫單擺. 2.單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：擺球以懸掛點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)沿著以為_(kāi)__________中點(diǎn)的一段圓弧做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，它沿圓弧做_______

2、____圓周運(yùn)動(dòng). 3.單擺的回復(fù)力：如圖1-3-2所示，擺球受___________和___________兩個(gè)力作用，將重力沿切向和徑向分解，則繩子的___________和重力的___________的合力提供了擺球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，而重力的___________提供了擺球振動(dòng)所需的回復(fù)力F=___________，在擺角很小時(shí)，sinθ≈,F的方向可認(rèn)為與x平行，但方向與位移方向相反，所以回復(fù)力可表示為_(kāi)__________，令k=___________,則___________. 圖1-3-2 由此可見(jiàn)，單擺在擺角較小的情況下的振動(dòng)是___________.

3、 二、單擺的周期 1.單擺的周期公式：___________，它是荷蘭物理學(xué)家___________首先發(fā)現(xiàn)的. 2.周期公式的使用條件是擺角很小，一般取___________. 3.決定周期的因素：擺長(zhǎng)l是指___________的距離，g是指___________.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期只與l、g有關(guān)，與___________、___________無(wú)關(guān)，在一定地點(diǎn)___________，一定，一定___________的周期一定，利用單擺的等時(shí)性可制成計(jì)時(shí)器. 三、利用單擺測(cè)定重力加速度 1.測(cè)量原理：由單擺周期公式可得g=___________,測(cè)出___________和__

4、_________，計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭. 2.測(cè)量中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）小球擺動(dòng)時(shí)，擺角應(yīng)___________，且應(yīng)在同一豎直面上擺動(dòng). （2）測(cè)定擺長(zhǎng)l應(yīng)從懸掛點(diǎn)到小球球心處，用___________懸線長(zhǎng)，用___________測(cè)小球直徑. （3）計(jì)算單擺的振動(dòng)次數(shù)時(shí)，應(yīng)以擺球通過(guò)最低位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，以后擺球從同一方向通過(guò)最低位置時(shí)計(jì)數(shù). （4）用T=計(jì)算單擺的周期，但應(yīng)適當(dāng)增大單擺擺動(dòng)的次數(shù). （5）多測(cè)幾組l、T的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算重力加速度，然后取平均值.也可以分別以l和T2為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，作出函數(shù)g=的圖象，理論上它是一條直線，這條直線的__________

5、就等于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣? 高手筆記 1.單擺在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化 如圖1-3-3所示，A→O,回復(fù)力做正功（重力做正功），重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，到O時(shí)，動(dòng)能最大，勢(shì)能最??；O→A′，回復(fù)力做負(fù)功，動(dòng)能減小，勢(shì)能增加，到達(dá)A′時(shí)，動(dòng)能為零，勢(shì)能最大.同理分析A′→O,O→A過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程.在此過(guò)程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉?，所以總機(jī)械能不變. 圖1-3-3 2.單擺的回復(fù)力 單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力在切線方向的分力，或者說(shuō)是擺球所受合外力在切線方向的分力；擺球所受合外力沿?cái)[線方向的分力作為擺球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.在擺球振動(dòng)的平衡位置處擺球的回復(fù)力為零，合外力指

6、向圓心，即合外力全部充當(dāng)向心力，在擺球偏離平衡位置最遠(yuǎn)處，向心力為零，合外力全部充當(dāng)回復(fù)力.所以單擺的回復(fù)力并不是單擺所受的合外力，而只是合外力沿切線方向的分力. 名師解惑 1.如何確定等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度？ 剖析：（1）等效擺長(zhǎng)l：擺長(zhǎng)l是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不一定是擺線的長(zhǎng). 例如，在圖1-3-4中，三根等長(zhǎng)的繩l1、l2、l3共同系住一密度均勻的小球m，球直徑為d.l2、l3與天花板的夾角α＜30.若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在O1處，故等效擺長(zhǎng)為l1+，周期T1=2π;若擺球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在O處，故等效擺長(zhǎng)為l

7、1+l2sinα+，周期T2=2π. 圖1-3-4 （2）等效加速度g:g不一定等于9.8 m/s2. g由單擺所在的空間位置決定.由g=G知，g隨所在地球表面的位置和高度的變化而變化，而且緯度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同. g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速的升降機(jī)中，設(shè)加速度為a，則擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧的切向分力變大，則重力加速度的等效值g′=g+a，若升降機(jī)加速下降，則g′=g-a.單擺若在軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，等效值g′=0,擺球不擺動(dòng)了，周期無(wú)窮大. 一般情況下，g′值等于擺球

8、相對(duì)于加速系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)，擺球所受的張力與擺球質(zhì)量的比值. 2.在用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，擺球?yàn)槭裁幢仨氃谪Q直面內(nèi)擺動(dòng)？ 剖析：如圖1-3-5所示，用細(xì)線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即細(xì)線所掃過(guò)的面為圓錐面，通常我們稱為圓錐擺，實(shí)質(zhì)上圓錐擺中的小球不是振動(dòng)，是做勻速圓周運(yùn)動(dòng). 圖1-3-5 設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)線與豎直方向夾角為θ，線長(zhǎng)為l，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=lsinθ,向心力F向=mgtanθ 由F向=mr得圓錐擺的周期T=2π 顯然該周期小于單擺周期，所以在用單擺測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，強(qiáng)調(diào)擺球必須在豎直面內(nèi)擺動(dòng). 講練互動(dòng) 【例

9、題1】下列關(guān)于單擺的說(shuō)法，正確的是（ ） A.單擺擺球從平衡位置運(yùn)動(dòng)到正向最大位移處時(shí)的位移為A（A為振幅），從正向最大位移處運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的位移為-A B.單擺擺球的回復(fù)力等于擺球所受的合外力 C.單擺擺球的回復(fù)力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力 D.單擺擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零 解析：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的位移是以平衡位置作為起點(diǎn)，擺球在正向最大位移處時(shí)位移為A，在平衡位置時(shí)位移應(yīng)為零，故A錯(cuò).擺球的回復(fù)力是由合外力沿圓弧切線方向的分力（等于重力沿圓弧切線方向的分力）提供，故B錯(cuò)，C對(duì).擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，但向心力不為零，所以合外力不為零，加速度也就不為零，故D錯(cuò).

10、答案：C 黑色陷阱 本題易錯(cuò)選為BCD，由于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子所受到的合外力是回復(fù)力，所以也把單擺所受的合外力當(dāng)作回復(fù)力.解決本題時(shí)，分清單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力與所受的合外力是解決本題的關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練 1．關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是（ ） A.擺球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置 B.擺球受到的回復(fù)力是它的合外力 C.擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合外力為零 D.擺角很小時(shí)，擺球受的合外力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧? 解析：?jiǎn)螖[的回復(fù)力不是它的合外力，而是重力沿圓弧方向的分力；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但合外力不為零，因?yàn)樾∏蜻€有向心力，

11、方向指向懸點(diǎn)（即指向圓心）；另外擺球所受的合外力與位移大小不成正比. 答案：A 2．關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力，下列結(jié)論正確的是（ ） A.擺球受重力、擺線的張力、回復(fù)力、向心力作用 B.擺球受的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零；回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大 C.擺球受的回復(fù)力最大時(shí)，擺線中的張力大小比擺球的重力大 D.擺球受的向心力最大時(shí)，擺球的加速度方向沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向 解析：?jiǎn)螖[在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺球受重力和繩的拉力，故A錯(cuò).重力垂直于繩的分力提供回復(fù)力.當(dāng)回復(fù)力最大時(shí)，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則拉力小于重力，在平衡位置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的

12、加速度方向沿繩指向懸點(diǎn)，故C、D錯(cuò)，B對(duì). 答案：B 【例題2】若單擺的擺長(zhǎng)不變，擺球的質(zhì)量增加為原來(lái)的4倍，擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度減小為原來(lái)的1/2，則單擺振動(dòng)的（ ） A.頻率不變，振幅不變 B.頻率不變，振幅改變 C.頻率改變，振幅改變 D.頻率改變，振幅不變 解析：由單擺的周期公式T=2π,因l不變，故T不變，f=不變；當(dāng)l一定時(shí)，單擺的振幅A取決于偏角θ，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，擺球從最大位移處到平衡位置 mgl(1-cosθ)=mv2得v2=2gl(1-cosθ)，與m無(wú)關(guān)； 由擺球通過(guò)最低點(diǎn)

13、的速度減小知單擺的偏角θ減小，所以振幅減小.所以正確選項(xiàng)為B. 答案：B 綠色通道 按照定義，振幅A應(yīng)為圖1-3-6中擺球在離平衡位置O最遠(yuǎn)點(diǎn)P時(shí)弦的長(zhǎng)度.因θ＜5,故弦與弧幾乎重合，所以、以及的長(zhǎng)度都可以看成是振幅（O′與P等高且在懸點(diǎn)正下方）.θ越大，振幅A越大. 圖1-3-6 變式訓(xùn)練 3．一單擺的周期T0=2 s，則在下述情況下它的周期T是多少？ （1）擺長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的1/4，T=____________s. （2）擺球質(zhì)量減半，T=____________s. （3）振幅減半，T=____________s. 解析：由單擺的周期公式T=2π,T∝,所以l=l0,

14、T==1 s;單擺的周期T與質(zhì)量、振幅無(wú)關(guān)，所以T=T0=2 s. 答案：（1）1 （2）2 （3）2 【例題3】有一單擺，其擺長(zhǎng)l=1.02 m，擺球的質(zhì)量m=0.10 kg，已知單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，單擺振動(dòng)30次用的時(shí)間t=60.8 s，試求： （1）當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻螅? （2）如果將這個(gè)擺改為秒擺，擺長(zhǎng)應(yīng)怎樣改變？改變多少？ 解析：由單擺的周期公式可求得g，秒擺是周期為2 s的單擺，根據(jù)T∝,可求出秒擺的擺長(zhǎng). （1）當(dāng)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期公式 T=2π，由此可得g=4π2l/T2,只要求出T值代入即可. 因?yàn)門=s=2.027 s 所以g=4π2l/T2=(4

15、3.1421.02)/2.0272 m/s2=9.79 m/s2. （2）秒擺的周期是2 s，設(shè)其擺長(zhǎng)為l0，由于在同一地點(diǎn)重力加速度是不變的，根據(jù)單擺的振動(dòng)規(guī)律有：, 故有：l0=m=0.993 m. 其擺長(zhǎng)要縮短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m. 答案：(1)9.79 m/s(2)其擺長(zhǎng)要縮短0.027 m. 綠色通道 單擺的周期公式T=2π是在當(dāng)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件下才適用的.改變單擺的擺長(zhǎng)能改變單擺的周期，同一單擺在重力加速度不同的兩地周期也不相同.單擺的周期與單擺的振幅無(wú)關(guān)，與擺球的質(zhì)量也無(wú)關(guān)，另外根據(jù)周期公式的變形式g=還可以測(cè)重力加

16、速度. 變式訓(xùn)練 4．一個(gè)單擺，在第一個(gè)行星上的周期為T1，在第二個(gè)行星上的周期為T2，若這兩個(gè)行星的質(zhì)量之比M1∶M2=4∶1,半徑之比R1∶R2=2∶1,則（ ） A.T1∶T2=1∶1 B.T1∶T2=4∶1 C.T1∶T2=2∶1 D.T1∶T2=1∶2 解析：?jiǎn)螖[的周期公式為T=2π,同一單擺即有T∝.又據(jù)萬(wàn)有引力定律mg=G,有g(shù)=，因此T∝,故T1∶T2== =1∶2. 答案：D 5．某同學(xué)要利用單擺測(cè)定重力加速度,但因無(wú)游標(biāo)卡尺而沒(méi)有辦法測(cè)定擺球直徑,他將擺球用不可伸長(zhǎng)的細(xì)線懸掛起來(lái)后,改變擺線的長(zhǎng)度測(cè)了兩次周期

17、,從而算出了重力加速度,則計(jì)算重力加速度的公式是（ ） A. B. C. D. 解析：設(shè)擺球重心到球與擺線連接點(diǎn)距離為d,兩次測(cè)得擺線長(zhǎng)分別為l1和l2，對(duì)應(yīng)周期為T1和T2. 則有g(shù)=,g=.兩式聯(lián)立可得g=. 答案：B 體驗(yàn)探究 【問(wèn)題1】利用單擺測(cè)定重力加速度實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的原因是什么？應(yīng)如何糾正？ 導(dǎo)思：由實(shí)驗(yàn)原理g=結(jié)合實(shí)際操作去分析. 探究：（1）擺長(zhǎng)l的誤差：測(cè)擺長(zhǎng)時(shí)應(yīng)是擺線的懸點(diǎn)到球心的距離，除了測(cè)量中刻度尺測(cè)量所帶來(lái)的誤差外，懸點(diǎn)的松緊，線的彈性大小也會(huì)造成誤差.這時(shí)可選用形變量小的細(xì)繩，且在懸點(diǎn)處把繩

18、子系緊，避免松動(dòng)，掛上擺球，使繩在張緊過(guò)程中測(cè)量. （2）周期T的誤差：記清擺球過(guò)平衡位置的次數(shù)n，時(shí)間t,則周期應(yīng)為T=,為減小誤差，n應(yīng)在30次~50次之間. （3）擺角的選取.在理論上，當(dāng)單擺的擺角小于5時(shí)擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而在實(shí)際中，擺角小于5的單擺，其運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)很難觀察，且實(shí)際中阻力的存在，使擺幅越來(lái)越小，給測(cè)量帶來(lái)困難.這時(shí)可在擺角為15以內(nèi)的情況下研究單擺的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)由于角度而引起的相對(duì)誤差為0.5%左右，這在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中是允許的. （4）在擺球做振動(dòng)時(shí)，釋放擺球時(shí)不要用力，且注意擺球與懸點(diǎn)在同一豎直面內(nèi)，否則擺球在擺動(dòng)中會(huì)做圓錐擺運(yùn)動(dòng). 【問(wèn)題2】利用所學(xué)知識(shí)探究擺鐘快慢

19、的原因. 導(dǎo)思：擺鐘是單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一個(gè)典型應(yīng)用，其快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的. 探究：（1）由擺鐘的機(jī)械構(gòu)造所決定，鐘擺每完成一次全振動(dòng)，擺鐘所顯示的時(shí)間為一定值，也就是走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘的周期T. （2）在擺鐘機(jī)械構(gòu)造不變的前提下，走時(shí)快的擺鐘，在給定時(shí)間內(nèi)全振動(dòng)的次數(shù)多，周期小，鐘面上顯示的時(shí)間快.走時(shí)慢的擺鐘，給定時(shí)間內(nèi)全振動(dòng)的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時(shí)間就慢.因鐘面顯示的時(shí)間總等于擺動(dòng)次數(shù)乘以準(zhǔn)確擺鐘的周期TS，即t顯=NTS,所以在同一時(shí)間t內(nèi)，鐘面指示時(shí)間之比等于擺動(dòng)次數(shù)之比. （3）無(wú)論擺鐘走時(shí)是否準(zhǔn)確，鐘面上顯示的時(shí)間t顯=NTS，其中TS為走

20、時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘的周期，N為全振動(dòng)的次數(shù).對(duì)于走時(shí)不準(zhǔn)確的擺鐘，要計(jì)算其全振動(dòng)的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時(shí)間除以其周期，而應(yīng)以準(zhǔn)確時(shí)間除以其周期，即N非=t/T非. 教材鏈接 【討論與交流】(課本13頁(yè)) 可用沙擺畫(huà)出單擺的振動(dòng)圖象.如圖1-3-7所示，當(dāng)盛沙漏斗下面的薄木板N被勻速地拉出時(shí)，擺動(dòng)著的漏斗中漏出的沙在板上形成曲線，顯示出擺的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系，板上直線OO1代表時(shí)間軸. 圖1-3-7 【實(shí)驗(yàn)與探究】測(cè)重力加速度課本15頁(yè) 測(cè)單擺的擺長(zhǎng)時(shí)，可用米尺測(cè)出懸點(diǎn)到小球最下端的長(zhǎng)度l0，用游標(biāo)卡尺測(cè)出小球的直徑，則單擺的擺長(zhǎng)為l=l0. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375