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1、
一類圓錐曲線相交弦問題的統(tǒng)一研究
定理:過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的直線與圓錐曲線相交于A、B兩點(diǎn)，交平行于準(zhǔn)線的直線于點(diǎn)M.若,則有為定值.
當(dāng)直線為圓錐曲線的準(zhǔn)線;過頂點(diǎn)的切線;過有心圓錐曲線的中心時(shí),都可以作為定理的推論.這樣做是一舉多得,這是統(tǒng)一研究的一種形式.
這個(gè)定理的證明有兩種方法,一種是分為橢圓、雙曲線、拋物線三種情況證明，另一種是建立圓錐曲線的統(tǒng)一方程，一起證明.我們采用后一種方法，統(tǒng)一證明，使過程縮短，這是統(tǒng)一研究的重要方法.
我們擬使用的是人教版解析幾何課本中，由極坐標(biāo)的圓錐曲線統(tǒng)一方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系的方程(如圖1):
在方程(1)中,表示焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離,
2、表示離心率.當(dāng)時(shí), 表示橢圓;當(dāng)時(shí), 表示雙曲線(兩支);當(dāng)時(shí), 表示拋物線.
這是焦點(diǎn)重合的圓錐曲線的統(tǒng)一方程.
在此情況下，準(zhǔn)線的方程為；
在方程(1)中,令得
當(dāng)時(shí),方程(1)表示有心圓錐曲線.設(shè)方程(2)的兩根為,由韋達(dá)定理得:
.即有心圓錐曲線的中心為；
解得方程(2)的兩根為.顯然圖1中頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
可以統(tǒng)一記為E.
下面我們?cè)趫A錐曲線統(tǒng)一方程(1)的情況下,證明定理.
如圖2,設(shè)直線的方程為
.
點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為.由得.
由得
;
由得
.
把方程(3)代入方程(1),并整理得:.
由韋達(dá)定理得:
(定值).
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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