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1、
第五講 變換的不變量與特征向量
一. 特征值與特征向量
【探究】
1. 計算下列結(jié)果：
＝
＝
以上的計算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？
2. 計算下列結(jié)果：
＝
＝
以上的計算結(jié)果與，的關(guān)系是怎樣的？
【定義】
設矩陣A＝，如果存在實數(shù)及非零向量，使得，則稱是矩陣A的一個特征值。
是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。
（結(jié)合探究1、2說明，特征值與特征向量）
【定理1】
如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。
其幾何意義是什么？
【定理2】
屬于矩陣的不同特
2、征值的特征向量不共線。
【應用】
從幾何角度解釋旋轉(zhuǎn)變換的特征值與特征向量。
二、特征值與特征向量的計算
1. 設A＝，求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。
【總結(jié)規(guī)律】
一般的，矩陣A＝的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量的求法。
3、
【應用】
求A＝的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。
【練習：P70】
【第五講.作業(yè)】
1.設反射變換對應的矩陣為A，則下列不是A的特征向量的是 （ ）
A. B. C. D.
2.下列說法錯誤的是 （ ）
A.矩陣A的一個特征向量只能屬于A的一個特征值 B.每個二階矩陣均有特征向量 C.屬于矩陣A的
4、不同特征值的特征向量一定不共線 D. 如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。
3.設，分別是恒等變換與零變換的特征值，則－＝
4.投影變換的所有特征值組成的集合為
5.矩陣的特征多項式為
6.已知A是二階矩陣，且A2＝0，則A的特征值為
7.若0是矩陣A＝的一個特征值，則A的屬于0的特征向量為
8.已知1、2是矩陣A＝的特征值，則＝
9.若向量是矩陣的一個特征向量，則m＝
10.求下列矩陣的特
5、征值及其對應的所有特征向量：①
② ③
11.已知向量是矩陣的一個特征向量，求m的值。
12.設A＝，分別求滿足下列條件的所有矩陣A：①是A的屬于2的一個特征向量。②是A的一個特征向量。
13.對任意實數(shù)x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍。
14設A是可逆的二階矩陣，求證：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，則1/是A－1的特征值。
1.Ｄ 2.Ｂ 3.１ 4.｛0，1｝ 5. 6.0 7. 8. 9.１ 10.① 或；②或③或 11.ｍ＝0
12.①② 13.－3≤ｍ≤2 14.①有特征多項式證明；② ， 得征。
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高中數(shù)學 第5課時 變換的不變量與特征向量教案 新人教A版選修42
