高中數學 章末綜合測評2 推理與證明 新人教A版選修12

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1、 章末綜合測評(二) 推理與證明 (時間：120分鐘，滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．根據偶函數定義可推得“函數f(x)＝x2在R上是偶函數”的推理過程是(　　) A．歸納推理　　　　 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案 C　[根據演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.] 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EF∥BC，這個問題的大前提為(　　) 【導學號：48662104】 A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半

2、 C．EF為中位線 D．EF∥BC A　[這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為△ABC的中位線；結論：EF∥BC.] 3．在△ABC中，tan A·tanB＞1，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 A　[∵tan A·tanB＞1，∴A，B只能都是銳角， ∴tan A＞0，tanB＞0,1－tan A·tanB＜0. ∴tan (A＋B)＝＜0. ∴A＋B是鈍角．∴角C為銳角．故選A.] 4．下列推理正確的是(　　) A．把a(b＋c)與loga(x＋y

3、)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)與sin (x＋y)類比，則有sin (x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz) D　[(xy)z＝x(yz)是乘法的結合律，正確．] 5．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　　) 【導學號：48662105】 A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 D　[因為a＋b＋c＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以ab＋bc＋ca＝－≤

4、0.故選D.] 6．對“a，b，c是不全相等的正數”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立． 其中判斷正確的個數為(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 B　[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數”矛盾，故①正確．a＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個成立，故②不正確．由于“a，b，c是不全相等的正數”，有兩種情形：至多有兩個數相等或三個數都互不相等，故③不正確．] 7．我們把平面幾何里相似形的概念

5、推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有(　　) 【導學號：48662106】 ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 C　[類比相似形中的對應邊成比例知，①③屬于相似體．] 8．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 C　[利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b

6、4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結果為前兩組結果的和．] 9．對任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是(　　) 【導學號：48662107】 A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β C．cos (α＋β)＞sin α＋sin β D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β D　[因為α，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞

7、cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．] 10．在等差數列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若b11＝1，則有(　　) A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝

8、b1＋b2＋…＋b21－n B　[令n＝10時，驗證即知選B.] 11．將石子擺成如圖1的梯形形狀．稱數列5,9,14,20，…為“梯形數”．根據圖形的構成，此數列的第2 018項與5的差，即a2 018－5＝(　　) 圖1 A．2023×2018 B．2023×2017 C．1012×2016 D．1012×2017 D　[an－5表示第n個梯形有n－1層點，最上面一層為4個，最下面一層為n＋2個． ∴an－5＝，∴a2 018－5＝＝2 017×1 012.] 12．如圖2中(1)，在△ABC中，AB⊥AC于點A，A

9、D⊥BC于點D，則有AB2＝BD·BC，類似地有命題：如圖(2)，在三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD內的射影為O，則S＝S△BCO·S△BCD，那么上述命題(　　) 【導學號：48662108】 圖2 A．是真命題 B．增加條件“AB⊥AC”后才是真命題 C．是假命題 D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”后才是真命題 A　[由已知垂直關系，不妨進行如下類比：將題圖(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分別與題圖(1)中的AB，BD，BC進行類比即可．嚴格推理如下：連結DO并延長交BC于點E，連結AE(圖略)，則DE⊥BC，AE⊥B

10、C.因為AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又因為AO⊥DE，所以AE2＝EO·ED，所以S＝(BC·EA)2＝(BC·EO)·(BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時，假設應為________． x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)　[“至少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．] 14．當n＝1時，有(a－b)(a

11、＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當n∈N*時，你能得到的結論是________. 【導學號：48662109】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1　[根據題意，由于當n＝1時，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當n＝2時，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當n＝3時，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當n∈N*時，左邊第二個因式可知為an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么對應的表達式為(a－b)&

12、#183;(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.] 15．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是________． 1和3　[法一：由題意得丙的卡片上的數字不是2和3. 若丙的卡片上的數字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數字是2和3，則甲的卡片上的數字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數字是2和3，則甲的卡片上的

13、數字是1和2，不滿足甲的說法． 故甲的卡片上的數字是1和3. 法二：因為甲與乙的卡片上相同的數字不是2，所以丙的卡片上必有數字2.又丙的卡片上的數字之和不是5，所以丙的卡片上的數字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數字不是1，所以乙的卡片上的數字是2和3，所以甲的卡片上的數字是1和3.] 16．現有一個關于平面圖形的命題：同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________. 【導學號：48662110】 　[解法的類

14、比(特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)用綜合法或分析法證明： (1)如果a，b>0，則lg ≥； (2)＋>2＋2. [證明]　(1)當a，b>0時，有≥， ∴l(xiāng)g ≥lg ， ∴l(xiāng)g ≥lg ab＝. (2)要證＋>2＋2， 只要證(＋)2>(2＋2)2， 即2>2，這是顯然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本小題滿分12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯誤之處． (1)求證：四邊形的內角和等于360&#

15、176;. 證明：設四邊形ABCD是矩形，則它的四個角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四邊形的內角和為360°. (2)已知和都是無理數，試證：＋也是無理數． 證明：依題設和都是無理數，而無理數與無理數之和是無理數，所以＋必是無理數． (3)已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反證法證明：關于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實根． 證明：假設方程x2＋2x＋5－m2＝0有實根．由已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而關于x的

16、方程x2＋2x＋5－m2＝0的判別式Δ＝4(m2－4)，∵－2<m<－，∴＜m2＜4，∴Δ<0，即關于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實根． [解]　(1)犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形． (2)使用的論據是“無理數與無理數的和是無理數”，這個論據是假的，因為兩個無理數的和不一定是無理數，因此原題的真實性仍無法判定． (3)利用反證法進行證明時，要把假設作為條件進行推理，得出矛盾，本題在證明過程中并沒有用到假設的結論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法． 19．(本小題滿分12分)觀察： ①tan 10°·tan 20&

17、#176;＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1. 由以上兩式成立能得到一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣. 【導學號：48662111】 [解]　從已知觀察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90

18、6;，因此猜測推廣式為若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不為kπ＋(k∈Z)，則tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 證明如下：由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ. 因為tan (α＋β)＝tan ＝.又因為tan (α＋β)＝，所以tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)＝ (1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋t

19、an αtan β＝1. 20．(本小題滿分12分)如圖2，正三棱柱ABC­A1B1C1的棱長均為a，D，E分別為C1C與AB的中點，A1B交AB1于點G. 圖2 (1)求證：A1B⊥AD； (2)求證：CE∥平面AB1D. [證明]　　(1)連接A1D，BD，DG， ∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱， ∴四邊形A1ABB1為正方形， ∴A1B⊥AB1. ∵D是C1C的中點， ∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD， ∵G為A1B中點， ∴A1B⊥DG. 又∵DG∩AB1＝G， ∴A1B⊥平面AB1D， 又∵AD?平面AB1D

20、， ∴A1B⊥AD. (2)連接GE，∵EG∥A1A， ∴GE⊥平面ABC. ∵DC⊥平面ABC， ∴GE∥DC，∵GE＝DC＝a， ∴四邊形GECD為平行四邊形，∴EC∥GD， 又∵EC?平面AB1D，DG?平面AB1D， ∴EC∥平面AB1D. 21. (本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ax＋(a>1)． (1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數根. 【導學號：48662112】 [證明]　(1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨設x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1&g

21、t;1且ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． 法二：f′(x)＝axln a＋＝axln a＋ ∵a>1，∴l(xiāng)n a>0，∴axln a＋>0， f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋∞)上為增函數． (2)設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且0<ax0<1.

22、∴0<－<1，即<x0<2，與假設x0<0矛盾． 故方程f(x)＝0沒有負數根． 22. (本小題滿分12分) (1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：·為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：·為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程). 【導學號：48662113】

23、 [解]　(1)證明如下：設點P(x0，y0)，(x0≠±a)． 依題意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又點P(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因為＝{a，yN}，＝(－a，yM)， 所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375