高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機變量的均值學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 2.3.1　離散型隨機變量的均值 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．(重點)2.掌握兩點分布、二項分布的均值．(重點)3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題．(難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．離散型隨機變量的均值 (1)定義：若離散型隨機變量X的分布列為： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望． (2)意義：它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．

2、(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是隨機變量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 2．兩點分布和二項分布的均值 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np. 3．隨機變量的均值與樣本平均值的關(guān)系 隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體的均值． [基礎(chǔ)自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”)

3、 (1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化； (　　) (2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平； (　　) (3)若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4； (　　) (4)隨機變量X的均值E(X)＝. (　　) [解析]　　(1)　隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個常量，是隨機變量X本身固有的一個數(shù)字特征． (2)　隨機變量的均值反映隨機變量取值的平均水平． (3)√　由均值的性質(zhì)可知． (4)　因為E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．若隨機變量X的分布列為 X －1 0

4、 1 p 則E(X)＝(　　) A．0　　　　　　　 B．－1 C．－ D．－ C　[E(X)＝ipi＝(－1)＋0＋1＝－.] 3．設(shè)E(X)＝10，則E(3X＋5)＝________. 35　[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝310＋5＝35.] 4．若隨機變量X服從二項分布B，則E(X)的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95032178】 　[E(X)＝np＝4＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 求離散型隨機變量的均值 　某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參

5、加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值． [解]　X的取值分別為1,2,3,4. X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了， 故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(X＝2)＝(1－0.6)0.7＝0.28. X＝3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)(1－0.7)0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P(X＝4)＝(1－0

6、.6)(1－0.7)(1－0.8)＝0.024. 所以李明實際參加考試次數(shù)X的分布列為 X＝k 1 2 3 4 P(X＝k) 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值為E(X)＝10.6＋20.28＋30.096＋40.024＝1.544. [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量X的均值步驟 (1)理解X的實際意義，并寫出X的全部取值． (2)求出X取每個值的概率． (3)寫出X的分布列(有時也可省略)． (4)利用定義公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值． 其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中要注重運用概率的相

7、關(guān)知識． [跟蹤訓(xùn)練] 1．盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池．現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及均值． [解]　X可取的值為1,2,3， 則P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝1＝. 抽取次數(shù)X的分布列為 X 1 2 3 P E(X)＝1＋2＋3＝. 離散型隨機變量的均值公式及性質(zhì) 　已知隨機變量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). 【導(dǎo)學(xué)號：9503

8、2179】 [解]　(1)由隨機變量分布列的性質(zhì)，得＋＋＋m＋＝1， 解得m＝. (2)E(X)＝(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＝－. (3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2－3＝－. 法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＋1＝－. [規(guī)律方法] 1．該類題目屬于已知離散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． 2．對于a

9、X＋b型的隨機變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便． [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，則a的值為________． －3　[E(X)＝1＋2＋3＝. ∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2. 解得a＝－3.] 兩點分布與二項分布的均值 　某運動員投籃命中率為p＝0.6. (1)求投籃1次時命中次數(shù)X的均值； (2)求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的均值. 【導(dǎo)學(xué)號：9

10、5032180】 [思路探究]　(1)利用兩點分布求解．(2)利用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式求解． [解]　(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表： X 0 1 P 0.4 0.6 則E(X)＝0.6. (2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)，則E(Y)＝np＝50.6＝3. 母題探究：1.(變換條件)求重復(fù)10次投籃時，命中次數(shù)ξ的均值． [解]　E(ξ)＝100.6＝6. 2．(改變問法)重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)為Y，命中一次得3分，求5次投籃得分的均值． [解]　設(shè)投籃得分為變量η，則η＝3Y. 所以E(η)＝E(3Y)＝

11、3E(Y)＝33＝9. [規(guī)律方法] 1．常見的兩種分布的均值 設(shè)p為一次試驗中成功的概率，則 (1)兩點分布E(X)＝p； (2)二項分布E(X)＝np. 熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度． 2．兩點分布與二項分布辨析 (1)相同點：一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生． (2)不同點： ①隨機變量的取值不同，兩點分布隨機變量的取值為0,1，二項分布中隨機變量的取值x＝0,1,2，…，n. ②試驗次數(shù)不同，兩點分布一般只有一次試驗；二項分布則進行n次試驗． 離散型隨機變量均值的實際應(yīng)用 [探究問題] 1．某籃球明星罰球命中率為0.7，罰球命中得1

12、分，不中得0分，則他罰球一次的得分X可以取哪些值？X取每個值時的概率是多少？ [提示]　隨機變量X可能取值為0,1.X取每個值的概率分別為P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7. 2．在探究1中，若該球星在一場比賽中共罰球10次，命中8次，那么他平均每次罰球得分是多少？ [提示]　每次平均得分為＝0.8. 3．在探究1中，你能求出在他參加的各場比賽中，罰球一次得分大約是多少嗎？為什么？ [提示]　在球星的各場比賽中，罰球一次的得分大約為00.3＋10.7＝0.7(分)．因為在該球星參加各場比賽中平均罰球一次的得分只能用隨機變量X的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平．具體到每一場比

13、賽罰球一次的平均得分應(yīng)該是非常接近X的均值的一個分?jǐn)?shù)． 　隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X. (1)求X的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 【導(dǎo)學(xué)號：95032181】 [思路探究]　→ →→ [解]　(1)X的所有可能

14、取值有6,2,1，－2. P(X＝6)＝＝0.63， P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1， P(X＝－2)＝＝0.02. 故X的分布列為： X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)＝60.63＋20.25＋10.1＋(－2)0.02＝4.34. (3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為 E(X)＝60.7＋2(1－0.7－0.01－x)＋1x＋(－2)0.01 ＝4.76－x(0≤x≤0.29)． 依題意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率

15、最多為3%. [規(guī)律方法]　 1．實際問題中的均值問題 均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成 績預(yù)測，消費預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機變量的均值來進行估計． 2．概率模型的三個解答步驟 (1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值． (3)對照實際意義，回答概率，均值等所表示的結(jié)論． [跟蹤訓(xùn)練] 3．在一次射擊比賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5；戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0

16、.3，那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰？ [解]　設(shè)這次射擊比賽戰(zhàn)士甲得X1分，戰(zhàn)士乙得X2分，則分布列分別如下： X1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 X2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 根據(jù)均值公式得 E(X1)＝10.4＋20.1＋30.5＝2.1； E(X2)＝10.1＋20.6＋30.3＝2.2； 因為E(X2)＞E(X1)， 故這次射擊比賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以戰(zhàn)士乙獲勝的希望較大． [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1．若隨機變量X～B(5,0.8)，則E(X)＝(　　) A．0.8　　　　　　　　 B．4

17、C．5 D．3 B　[E(X)＝np＝50.8＝4.故選B.] 2．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，則E(X)的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032182】 A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2 A　[E(X)＝1＋2＋3＋4＝2.5.] 3．袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取1個球，記下顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X是取得紅球的次數(shù)， 則E(X)＝________. 　[每一次摸得紅球的概率為＝，由X～B，則E(X)＝4＝.] 4．已知X～B，則E(2X＋3)＝________. 103　[E(X)＝100＝50，E(2X＋3)

18、＝2E(X)＋3＝103.] 5．袋中有4個黑球，3個白球，2個紅球，從中任取2個球，每取到1個黑球記0分，每取到1個白球記1分，每取到1個紅球記2分，用X表示取得的分?jǐn)?shù)．求： (1)X的分布列； (2)X的均值. 【導(dǎo)學(xué)號：95032183】 [解]　(1)由題意知，X可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P (2)E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＝. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。