高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對點練19 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理

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1、 專題對點練19　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.(2017四川成都二診,理18)某項科研活動共進行了5次試驗,其數(shù)據(jù)如下表所示: 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 (1)從5次特征量y的試驗數(shù)據(jù)中隨機地抽取兩個數(shù)據(jù),求至少有一個大于600的概率; (2)求特征量y關(guān)于x的線性回歸方程y^=b^x+a^,并預(yù)測當特征量x=570時特征量y的值. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)

2、2,a^=y-b^ x 解 (1)從5次特征量y的試驗數(shù)據(jù)中隨機地抽取兩個數(shù)據(jù),共有C52=10種方法,都小于600,有C32=3種方法, 故至少有一個大于600的概率為710=0.7. (2)x=556,y=600,b^=∑i=15(xi-x)(yi-y)∑i=15(xi-x)2=0.3,a^=y-b^x=433.2,∴y^=0.3x+433.2,當x=570時,y^=604.2,即當特征量x為570時,特征量y的值為604.2. 2.(2017福建福州一模,理18)在國際風(fēng)帆比賽中,成績以低分為優(yōu)勝,比賽共11場,并以最佳的9場成績計算最終的名次.在一次國際風(fēng)帆比賽中,前7場比賽結(jié)

3、束后,排名前8名的選手積分如表: 運動 員 比賽場次 總分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 3 2 2 2 4 2 6 21 B 1 3 5 1 10 4 4 28 C 9 8 6 1 1 1 2 28 D 7 8 4 4 3 1 8 35 E 3 12 5 8 2 7 5 42 F 4 11 6 9 3 6 8 47 G 10 12

4、 12 8 12 10 7 71 H 12 12 6 12 7 12 12 73 (1)根據(jù)表中的比賽數(shù)據(jù),比較A與B的成績及穩(wěn)定情況; (2)從前7場平均分低于6.5的運動員中,隨機抽取2名運動員進行興奮劑檢查,求至少1名運動員平均分不低于5分的概率; (3)請依據(jù)前7場比賽的數(shù)據(jù),預(yù)測冠亞軍選手,并說明理由. 解 (1)由表格中的數(shù)據(jù),我們可以分別求出運動員A和B前7場比賽積分的平均數(shù)和方差,作為度量兩運動員比賽的成績及穩(wěn)定性的依據(jù). 運動員A的平均分x1=1721=3, 方差s12=17[(3-3)2+(2-3

5、)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2]=2; 運動員B的平均分x2=1728=4, 方差s22=17[(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2]=8, 從平均分和積分的方差來看,運動員A的平均積分及積分的方差都比運動員B的小,也就是說,在前7場比賽過程中,運動員A的成績較為優(yōu)秀,且表現(xiàn)也較為穩(wěn)定. (2)表中平均分低于6.5分的運動員共有5名,其中平均分低于5分的運動員有3名,平均分不低于5分且低于6.5分的運動員只有2名, 從這5個數(shù)據(jù)中任取2個,基本事件總數(shù)n=10,從3名運動員中任取

6、2人的事件數(shù)為3, 至少1名運動員平均分不低于5分的對立事件是取到的兩人的平均分都低于5分, 故至少1名運動員平均分不低于5分的概率P=1-310=710. (3)盡管此時還有4場比賽沒有進行,但這里我們可以假設(shè)每位選手在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同,因而可以把前7場比賽的成績看作總體的一個樣本,并由此估計每位運動員最后的成績,從已結(jié)束的7場比賽的積分來看,運動員A的成績最為出色,而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定,故預(yù)測A運動員獲得最后的冠軍,而運動員B和C平均分相同,但運動員C得分整體呈下降趨勢,所以預(yù)測運動員C將獲得亞軍. 3.某中學(xué)共有4 400名學(xué)生,其中男生有2 400名,女生有2

7、000名.為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異,采用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中選取55名同學(xué)進行數(shù)學(xué)試卷成績調(diào)查,得到男生數(shù)學(xué)試卷成績的頻率分布直方圖和女生數(shù)學(xué)試卷成績的頻數(shù)分布表. 男生數(shù)學(xué)試卷成績的頻率分布直方圖 女生數(shù)學(xué)試卷成績的頻數(shù)分布表 成績 分組 [75,90) [90,105) [105,120) [120,135) [135,150] 頻數(shù) 2 6 8 7 b (1)計算a,b的值,以分組的中點數(shù)據(jù)為平均數(shù)據(jù),分別估計該校男生和女生的數(shù)學(xué)平均成績; (2)若規(guī)定成績在[120,150]內(nèi)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表,并判斷能

8、否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為男、女生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有差異. 男　生 女　生 總　計 優(yōu)　秀 不優(yōu)秀 總　計 參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 臨界值表: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解 (1)在選取的55名同學(xué)中,男生有2 4004 40055=30(人),女生有2 0004 40055=25(人). 由男生數(shù)學(xué)試卷成績的頻率分布直方圖知,15(3a+4a+9a+11a+

9、3a)=1,解得a=1450. 由女生數(shù)學(xué)試卷成績的頻數(shù)分布表知,2+6+8+7+b=25,解得b=2. 用樣本估計該校男生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)? 130(382.5+1197.5+9112.5+4127.5+3142.5)=109(分), 用樣本估計該校女生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)? 125(282.5+697.5+8112.5+7127.5+2142.5)=113.1(分). (2)表格填寫如下: 男生 女生 總計 優(yōu)　秀 7 9 16 不優(yōu)秀 23 16 39 總　計 30 25 55 由公式得K2=55(716-239)216393025≈1.061

10、<2.706, 在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下,不能認為男、女生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有差異. ?導(dǎo)學(xué)號16804207? 4.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. x y w ∑i=18(xi-x)2 ∑i=18(wi-w)2 ∑i=18(xi-x)(yi-y) ∑i=18(wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8

11、 表中wi=xi,w=18∑i=18wi. (1)根據(jù)散點圖判斷y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題: ①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少? ②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大? 附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β^=∑i=1n(ui

12、-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v-β^u. 解 (1)由散點圖可以判斷y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型. (2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程. 因為d^=∑i=18(wi-w)(yi-y)∑i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c^=y-d^w=563-686.8=100.6, 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y^=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y^=100.6+68x. (3)①由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預(yù)報值 y^=100.6+6849=576.6, 年利潤z的預(yù)報值z^=576.60.2

13、-49=66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值 z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12. 所以當x=13.62=6.8,即x=46.24時,z^取得最大值. 故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375