高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修22

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1、第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)時(shí)間120分鐘,滿分150分一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1dx等于(B)A2ln2B2ln2Cln2 Dln2解析因?yàn)?2lnx),所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲線yx33x21在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為(B)Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析點(diǎn)(1,1)在曲線上,y3x26x,y|x13,即切線斜率為3利用點(diǎn)斜式得,切線方程為y13(x1),即y3x2故選B3(2018全國(guó)卷文,6)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax若f(x)為奇函數(shù),則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,

2、0)處的切線方程為(D)Ay2x ByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax, f(x)3x22(a1)xa又f(x)為奇函數(shù), f(x)f(x)恒成立,即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立, a1, f(x)3x21, f(0)1, 曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx故選D4(2018青島高二檢測(cè))下列函數(shù)中,x0是其極值點(diǎn)的函數(shù)是(B)Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析對(duì)于A,f (x)3x20恒成立,在R上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn);對(duì)于B,f (x)sinx,當(dāng)x(,0)時(shí),f (x)0,故f(x)cosx在x0的左側(cè)

3、區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在其右側(cè)區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x0是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn);對(duì)于C,f (x)cosx10恒成立,在R上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn);對(duì)于D,f(x)在x0沒有定義,所以x0不可能成為極值點(diǎn),綜上可知,答案選B5已知函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值,則a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3,由條件知,x3是方程f (x)0的實(shí)數(shù)根,a56(2017浙江卷)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)yf(x)的圖象可能是(D)解析觀察導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可知,f(x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0,大于0,小于0,大于0,對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)

4、的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察選項(xiàng)可知,排除A,C如圖所示,f(x)有3個(gè)零點(diǎn),從左到右依次設(shè)為x1,x2,x3,且x1,x3是極小值點(diǎn),x2是極大值點(diǎn),且x20,故選項(xiàng)D確,故選D7若a0,b0,且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值,則ab的最大值等于(D)A2B3C6D9解析f (x)12x22ax2b,又因?yàn)樵趚1處有極值,ab6,a0,b0,ab()29,當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取等號(hào),所以ab的最大值等于9故選D8函數(shù)f(x)ax3ax22ax1的圖象經(jīng)過四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)Aa BaCa Da解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1),要使函數(shù)f(

5、x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限,則f(2)f(1)0,即(a1)(a1)0,解得a故選D9(2018沈陽一模)設(shè)函數(shù)f(x)xex1,則(D)Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx1為f(x)的極小值點(diǎn)Cx1為f(x)的極大值點(diǎn)Dx1為f(x)的極小值點(diǎn)解析由于f(x)xex,可得f(x)(x1)ex,令f(x)(x1)ex0可得x1,令f(x)(x1)ex0可得x1,即函數(shù)在(1,)上是增函數(shù)令f(x)(x1)ex0可得x1,即函數(shù)在(,1)上是減函數(shù)所以x1為f(x)的極小值點(diǎn)故選D10(2017全國(guó)卷理,11)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值是(A)A1 B2e3 C

6、5e3 D1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30,所以a1所以f(x)(x2x1)ex1,f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立,得x2或x1時(shí),f(x)0,且x0;2x1時(shí),f(x)1時(shí),f(x)0所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1故選A11已知函數(shù)f(x)xlnx,g(x)x3x25,若對(duì)任意的x1,x2,都有f(x1)g(x2)2成立,則a的取值范圍是(B)A(0,) B1,)C(,0) D(,1解析由于g(x

7、)x3x25g(x)3x22xx(3x2),函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,g5,g(2)8451由于對(duì)x1,x2,f(x1)g(x2)2恒成立,f(x)g(x)2max,即x時(shí),f(x)1恒成立,即xlnx1,在上恒成立,axx2lnx在上恒成立,令h(x)xx2lnx,則h(x)12xlnxx,而h(x)32lnx,x時(shí),h(x)0,x1,2時(shí),h(x)0,則a(ex1ex1)2a,要使f(x)有唯一零點(diǎn),則必有2a1,即a若a0,則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)13(2017南開區(qū)二模)已知f(x)x(20

8、16lnx),f(x0)2017,則x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017,f(x0)2017lnx02017,則lnx00,x0114(2018海淀區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)x22lnx,則f(x)的最小值為1解析函數(shù)的定義域(0,)f(x)2x2令f(x)0x1; f(x)00x1所以函數(shù)在(0,1單調(diào)遞減,在1,)單調(diào)遞增所以函數(shù)在x1時(shí)取得最小值,f(x)minf(1)1故答案為115如圖陰影部分是由曲線y、y2x與直線x2、y0圍成,則其面積為ln2解析由,得交點(diǎn)A(1,1)由得交點(diǎn)B故所求面積Sdxdxxlnxln216(2018玉溪模擬)已知函數(shù)

9、f(x)的定義域?yàn)?,5,部分對(duì)應(yīng)值如下表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,給出關(guān)于f(x)的下列命題:x10245f(x)12021函數(shù)yf(x)在x2取到極小值;函數(shù)f(x)在0,1是減函數(shù),在1,2是增函數(shù);當(dāng)1a2時(shí),函數(shù)yf(x)a有4個(gè)零點(diǎn);如果當(dāng)x1,t時(shí),f(x)的最大值是2,那么t的最小值為0其中所有正確命題是(寫出正確命題的序號(hào))解析由圖象可知當(dāng)1x0,2x4時(shí),f(x)0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)0x2,4x5時(shí),f(x)0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x0或x4時(shí),函數(shù)取得極大值,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)取得極小值所以正確函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減,所以錯(cuò)誤因?yàn)閤0或x4時(shí),函數(shù)取

10、得極大值,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)取得極小值所以f(0)2,f(4)2,f(2)0,因?yàn)閒(1)f(5)1,所以由函數(shù)圖象可知當(dāng)1a2時(shí),函數(shù)yf(x)a有4個(gè)零點(diǎn);正確因?yàn)楹瘮?shù)在1,0上單調(diào)遞增,且函數(shù)的最大值為2,所以要使當(dāng)x1,t時(shí),f(x)的最大值是2,則t0即可,所以t的最小值為0,所以正確故答案為三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17(本題滿分10分)(2018贛州二模)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)2alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1x2求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)因?yàn)閒(x)(x1)2alnx,f(x)2(x1),(x0)即f(x),令g(x)2

11、x22xa,(x0)則(x1x2)是方程2x22xa0的兩個(gè)正實(shí)根則,得0a0)(1)當(dāng)a1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(0,1上 的最大值為,求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2),f (x)a,(1)當(dāng)a1時(shí),f (x),當(dāng)x(0,)時(shí),f (x)0,當(dāng)x(,2)時(shí),f (x)0,即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a,因此a19(本題滿分12分)在曲線yx2(x0)上某一點(diǎn)A處作一切線,使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為,試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程解析如圖所示,設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0),過切點(diǎn)A的切線與x軸的交點(diǎn)為C由y

12、2x知A點(diǎn)處的切線方程為yy02x0(xx0),即y2x0xx令y0,得x,即C(,0)設(shè)由曲線yx2(x0)與過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S,則SS曲邊AOBSABCS曲邊AOBx00x2dxx3|x00x,SABCBCAB(x0)xx,Sxxx,x01,切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),即過切點(diǎn)A的切線方程為2xy1020(本題滿分12分)(2018和平區(qū)三模)設(shè)函數(shù)f(x)lnx ax2bx(1)當(dāng)ab時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值;(2)令F(x)f(x)x2bx(0x3),若其圖象上的任意點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率k恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)依題意,知f(x)的定義域?yàn)?0

13、,),當(dāng)ab時(shí),f(x)lnxx2x,f(x)x令f(x)0,解得x1(x0)因?yàn)間(x)0有唯一解,所以g(x2)0,當(dāng)0x1時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減所以f(x)的極大值為f(1),此即為最大值(2)F(x)lnx,x(0,3,則有kF(x0),在x0(0,3上恒成立,所以a(xx0)max,x0(0,3,當(dāng)x01時(shí),xx0取得最大值,所以a21(本題滿分12分)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,其次品率P與日產(chǎn)量x(萬件)之間大體滿足關(guān)系:P(其中c為小于6的正常數(shù))(注:次品率次

14、品數(shù)/生產(chǎn)量,如P01表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件為次品,其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?解析(1)當(dāng)xc時(shí),P,所以Tx2x10當(dāng)1xc時(shí),P,所以T(1)x2()x1綜上,日盈利額T(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為:T(2)由(1)知,當(dāng)xc時(shí),每天的盈利額為0,當(dāng)1xc時(shí),T,令T0,解得x3或x9因?yàn)?xc,c6,所以()當(dāng)3c6時(shí),Tmax3,此時(shí)x3()當(dāng)1c3時(shí),由T知函數(shù)T在1

15、,3上遞增,所以Tmax,此時(shí)xc綜上,若3c6,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時(shí),可獲得最大利潤(rùn);若1c3,則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時(shí),可獲得最大利潤(rùn)22(本題滿分14分)(2018全國(guó)卷理,21)已知函數(shù)f(x)xaln x(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明:a2解析(1)解:f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)1若a2,則f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)a2,x1時(shí),f(x)0,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減若a2,令f(x)0,得x或x當(dāng)x時(shí),f(x)0;當(dāng)x時(shí),f(x)0所以f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)證明:由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2由于

16、f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足x2ax10,所以x1x21,不妨設(shè)x1x2,則x21由于1a2a2a,所以a2等價(jià)于x22ln x20設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x,由(1)知,g(x)在(0,)上單調(diào)遞減又g(1)0,從而當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)0所以x22ln x20,即a26EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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