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1、課 題
正多邊形與圓
教學目標
1、了解正多邊形的概念，探究正多邊形與圓的關系；
2、經歷探索正多邊形與圓的關系，理解正多邊形的性質；
重點、難點
1、正多邊形及正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念與計算
2、正多邊形與圓的關系及正多邊形的性質
考點及考試要求
1、正多邊形的定義
2、正多邊形與圓的關系
3、正多邊形的性質
教 學 內 容
第一課時 正多邊形與圓知識點梳理
課前檢測
1.圓的半徑擴大一倍，則它的相應的圓內接正n邊形的邊長與半徑之比( )
A.擴大了一倍 B.擴大了兩倍 C.擴大
2、了四倍 D.沒有變化
2.正三角形的高、外接圓半徑、邊心距之比為( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.正五邊形共有__________條對稱軸，正六邊形共有__________條對稱軸.
4.中心角是45的正多邊形的邊數是__________.
5.已知△ABC的周長為20,△ABC的內切圓與邊AB相切于點D,AD=4,那么BC=__________.
知識梳理
正多邊形的定義：
各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形．
正多邊形
3、的相關概念：
⑴正多邊形的中心角；⑵正多邊形的中心；⑶正多邊形的半徑；⑷正多邊形的邊心距
正多邊形的性質：
⑴正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個全等的直角三角形；
⑵正多邊形都是軸對稱圖形，正邊形共有條通過正邊形中心的對稱軸；
⑶偶數條邊的正多邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其中心就是對稱中心．
正多邊形的有關計算
⑴正邊形的每個內角都等于；
⑵正邊形的每一個外角與中心角相等，等于；
⑶設正邊形的邊長為，半徑為，邊心距為，周長為，面積為，
則
正多邊形的畫法
1.用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所
4、對的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.
2.用尺規(guī)等分圓
對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
第二課時 正多邊形與圓典型例題
典型例題一一
題型一、正多邊形的概念
例1.填寫下列表中的空格
正多邊形邊數
內角
中心角
半徑
邊長
邊心距
周長
面積
3
2
4
1
6
2
變1.（1）若正n邊形的一個外角是一個內角的時，此時該正n邊形有_________條對稱軸.
（2）同圓的內接正三角形與內接正方形的邊長的比是( )
5、
A. B. C. D.
例2.已知一個正三角形與一個正六邊形的周長相等，求它們的面積的比值．
解：設正三角形邊長為a，則其周長為C1＝3a，面積S1＝a2，
又設正六邊形邊長為b，則周長為C2＝6b．面積S2=b2，
由C1=C2，知,a=2b,
∴S1∶S2=a2∶b2=b2∶b2=,
故它們的面積的比值為2∶3。
變2.若正三角形、正方形、正六邊形和圓的周長都相等，那么____________的面積最大；若它們的面積都相等，那么_____________的周長最大．
題型二、正多邊形的性質
6、
例3.下面給出六個命題：
①各角相等的圓內接多邊形是正多邊形； ②各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形；
③正多邊形是中心對稱圖形； ④各角均為的六邊形是正六邊形；
⑤邊數相同的正邊形的面積之比等于它們邊長的平方比；⑥各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形
其中，錯誤的命題是_____________．
變3.（1）正邊形內接于半徑為的圓，這個邊形的面積為，則等于____________．
（2）正八邊形每一個外角是多數等于_______．N邊形每一個內角等于________．
例4.已知：如圖在△RtABC中，∠ACB＝90，AC＝3，BC＝4，
7、分別以各邊為直徑在AB同側作半圓，求陰影部分的面積．
解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90，∴AB＝5。
則圖中陰影部分的面積為S陰=π()2+π()2+34-π()2=+2π+6-=6
故圖中陰影部分的面積為S陰=6個（平方單位）．
變4.如圖，兩相交圓的公共弦AB為，在⊙O1中為內接正三角形的一邊，在⊙O2中為內接正六邊形的一邊，求這兩圓的面積之比。
題型三、正多邊形的證明
例5.如圖，△AFG中，AF = AG ，∠FAG = 108，點C、D在FG上，且CF= CA，DG = DA，過點A、C、D的⊙
8、O分別交AF、AG于點B、E。
求證：五邊形ABCDE是正五邊形。
變5.如圖，⊙O的內接正五邊形AB CDE的對角線AD與BE相交于點M，（1）請你仔細觀察圖形，并直接寫出圖中的所有等腰三角形；（2）求證：BM2＝BE ME；（3）設 BE、 ME的長是關于 x的一元二次方程x2-2x+k＝0的兩個根，試求k的值，并求出正五邊形ABCDE的邊長．
第三課時 正多邊形與圓課堂檢測
課堂檢測
1.正六邊形的兩條平行
9、邊之間的距離為1，則它的邊長為( )
A. B. C. D.
2.已知正多邊形的邊心距與邊長的比為，則此正多邊形為( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六邊形 D.正十二邊形
3.已知正六邊形的半徑為3 cm，則這個正六邊形的周長為__________ cm.
4.正多邊形的一個中心角為36度,那么這個正多邊形的一個內角等于___________度.
5.如圖2.6-2，兩相交圓的公共弦AB為2，在⊙O1中為內接正三角形的一邊，在⊙O2中
10、為內接正六邊形的一邊，求這兩圓的面積之比.
圖2.6-2
6.某正多邊形的每個內角比其外角大100，求這個正多邊形的邊數.
7.如圖2.6-3，在桌面上有半徑為2 cm的三個圓形紙片兩兩外切，現用一個大圓片把這三個圓完全覆蓋，求這個大圓片的半徑最小應為多少？
圖2.6-3
8.如圖2.6-4，請同學們觀察這兩個圖形是怎么畫出來的？并請同學
11、們畫出這個圖形(小組之間參與交流、評價).
圖2.6-4
9.用等分圓周的方法畫出下列圖案：
圖2.6-5
10.如圖2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連結OM、ON.
圖2.6-6
(1)求圖2.6-6(1)中∠MON的度數；
(2)圖2.6-6(2)中∠MON的度數是_________，圖2.6-6(3)中∠MON的度數是_________；
(3)試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系(直接寫出答案).
2022年中考數學考前專題輔導 正多邊形與圓
