考研數(shù)學(xué)概率論總結(jié)

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1、 考 研 數(shù) 學(xué) 概 率 論 部 分 重 難 點(diǎn) 總 結(jié) 概率論是考研數(shù)學(xué)必須全得的分?jǐn)?shù)，其實(shí)概率論也是考驗(yàn)數(shù)學(xué)三駕馬車(chē)中最簡(jiǎn)單的一門(mén)，代 數(shù)是最難的一門(mén)，因此，學(xué)好概率論是考驗(yàn)數(shù)學(xué)的必須部分。下面進(jìn)行總結(jié) 概率這門(mén)課的特點(diǎn) 與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時(shí)間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。但與線代 一樣，概率也常常被忽視，有時(shí)甚至被忽略。一般的數(shù)學(xué)考研參考書(shū)是按高數(shù)、線代、概率 的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時(shí)間所剩無(wú)多；而且因?yàn)榍?兩部分分別占60%口 20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會(huì)有點(diǎn)滿足心理；這些因素都可能影響到 概率的復(fù)習(xí)。 概率這門(mén)課如果有難點(diǎn)就

2、應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然 有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡(jiǎn)單，還有很多可以借助理解來(lái)記憶；在線代部分，需 要記憶的公式定理少，而需要通過(guò)推導(dǎo)相互聯(lián)系來(lái)理解記憶的多， 所以記憶量也不構(gòu)成難點(diǎn)； 但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來(lái)記這些點(diǎn)的 話，不但難度大耗時(shí)多而且沒(méi)有更多的用處 (因?yàn)楦怕什糠挚荚嚂r(shí)對(duì)公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過(guò) 程及聯(lián)系并沒(méi)有什么要求，一般不會(huì)在更深的層次上出題)。 記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī) 變量的數(shù)字特征》中在每章開(kāi)始列出的那些大表格時(shí)，感覺(jué)其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱

3、的、 不用細(xì)看；但后來(lái)復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。 所以對(duì)于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背， 然后通過(guò)足量做題再來(lái)牢固掌握，走一 條”在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。 記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分20%勺分值基本上就不難拿到 概率第一章《隨機(jī)事件和概率》 本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對(duì)于本章中的古典概型可以出 很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時(shí)難題很少。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的 題目，大多圍繞形如 P(AB) P(AB)、P(B|A) P(B|A)、P(A B C)這 樣的式子利用各種概率運(yùn)算

4、公式求解； 其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題 中都有可能考到。 在“概率事件的關(guān)系及運(yùn)算”部分有很多公式可以借助畫(huà)集合運(yùn)算圖來(lái)輔助做題，比 如事件A若與事件B有包含關(guān)系B A, 則可作圖 長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)都屬于 B的范圍，圓形則代表A的范圍。這樣一來(lái)即易看出事件包含關(guān)系的定義 “ A發(fā)生時(shí)B必 發(fā)生，B發(fā)生時(shí)A不一定發(fā)生”； 事件A與B的并A B可作圖 ，則A B是A、B兩個(gè)圓形(包 含相交部分)，對(duì)于這個(gè)大圖形中的任意一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，不是屬于A就是屬于B,體現(xiàn)了 A B “事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”的定義；同理，事件A與B的差A(yù) B表示事件A與B 同時(shí)發(fā)生

5、，在上圖中所有滿足條件的點(diǎn)組成了兩圓相交的那一部分。 對(duì)于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過(guò)作圖來(lái)得到答 案。如公式 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 可以借助右圖表示 公式左端的P(A B C)等于A、B、C 三個(gè)圓形各自互不相交的三部分再加上 a,b,c,d四小部分，而公式右端中的 P(A) P(B) P(C)代表的區(qū)域包括 A、B、C各自互不相交的三部分 (2a 2b 2c 2d),比左端多加了一次a,b,c和兩次d ,這時(shí)等式是不平衡的； 再減去［P(AB) P(BC) P(AC)

6、］即是 2a 2b 2c 3d (a d) (c d) a b c,與公式左端所代表的圖形相比 只少了一塊d，加上即可，故再加P(ABC)后等式成立。 區(qū)別互斥、互逆、對(duì)立與不相容：事件 A與事件B互斥也叫A與B不相容，即 A B ,事件A與事件B對(duì)立就是A與B互逆，即為A與A的關(guān)系。 P(AB) P(A) P(AB)⑴ 公式組 P(AB) P(A) P(B|A) (2) 在歷年考研真題中頻繁用到，很多題 P(AB) P(A) P(B) (A,B相互獨(dú)立)(3) 利用這三個(gè)公式間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個(gè)公式的含義從直觀上就能理解： 公式(1)表示事件 A、B同時(shí)發(fā)生的

7、概率等于 A發(fā)生的概率減去 A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的 概率；(2)式表示事件 A、B同時(shí)發(fā)生的概率等于 A發(fā)生的概率乘以在 A發(fā)生的條件下 B也發(fā)生的概率；當(dāng) A、B相互獨(dú)立時(shí)，也就是指事件 A與事件B的發(fā)生互不影響，此 時(shí)應(yīng)該有 P(B|A) P(B)、P(A|B) P(A)所以 P(AB) P(A)P(B|A) P(A)P(B)由(2)式即可得出(3)式。出題人從這三個(gè) 公式意義上的相通性出發(fā)可以很靈活地構(gòu)造題目， 在后面的評(píng)題中會(huì)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)作更具體 的討論。 第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》、第四章《大數(shù)定律和中心極限定理》 對(duì)于這一部分的復(fù)習(xí)可說(shuō)的東西

8、不多，因?yàn)樵诳荚囍谐霈F(xiàn)的概率題目其實(shí)有相當(dāng)大一 部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走” 了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易， 那么題目的結(jié)構(gòu)相對(duì)而言就要簡(jiǎn)單一些， 我們甚至?xí)l(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上 的例題一樣。 這種情況有點(diǎn)像我們?cè)谟⒄Z(yǔ)考試中作閱讀理解題，問(wèn)題本身的含義并不復(fù)雜，難就難 在文章中的單詞“似曾相識(shí)”和句子看不懂上。而英國(guó)學(xué)生考“語(yǔ)文”時(shí)做的閱讀理解問(wèn)題 肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多一一因?yàn)榭疾斓闹攸c(diǎn)不一樣。 所以對(duì)于概率部分的 復(fù)習(xí)，有兩個(gè)步驟即可：首先是牢記公式，然后是把題做熟 ，在練習(xí)過(guò)程中透徹理解概念公 式和性質(zhì)定理。 陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二

9、、三章把知識(shí)點(diǎn)列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時(shí) 用來(lái)記憶和對(duì)比很方便。對(duì)于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來(lái)對(duì)照復(fù)習(xí)， 比 如說(shuō)二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對(duì)應(yīng)(類似于二重積分和定積分性質(zhì)之間 的關(guān)系)，二維邊沿分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知 識(shí)點(diǎn)也可互相對(duì)比、區(qū)別記憶。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對(duì)比、隨機(jī)變量 分布和隨機(jī)變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。 同時(shí)對(duì)于重要分布如二項(xiàng)、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)分布必需記得非常牢，因?yàn)榭荚?時(shí)會(huì)直接拿這些分布做題干來(lái)考察各章知識(shí)點(diǎn)， 萬(wàn)一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會(huì)寫(xiě)或 寫(xiě)錯(cuò)而導(dǎo)致整道大

10、題知道怎么做也沒(méi)法做”的情況將是非?？上У摹? 本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高， 最?？挤植际蔷鶆?、 指數(shù)和正態(tài)分布。對(duì)于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解 b 因?yàn)榉植己瘮?shù) F(x) (x)dx P{X x},所以 P{X x} P{a x b} 分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括 (x)dx 1、 P(x1 x x2) x2 (x)dx F(x2) F (xi )等；而且在具體做題時(shí)用圖像輔 助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯 陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》也是用表格說(shuō)話的，同

11、樣需要認(rèn)真記 好。本章在歷年真題中最常出現(xiàn)的題目考察點(diǎn)是幾個(gè)重點(diǎn)公式，尤其是式子 D(X) E(X E(X))2 E(X2) E2(X),大小題都可能利用這一式子的左 端或右端出題而以另一端設(shè)置答案。 還有數(shù)學(xué)期望EX與方差DX的定義及性質(zhì)也是考察 重點(diǎn)，可由下表對(duì)比記憶： 數(shù)學(xué)期望EX — DX x EX x (x)dx (連 續(xù)型) 若X、Y相互獨(dú)立，則有 D(X Y) D(X) D(Y)、 D(X Y) D(X) D(Y)(歷一”止一次 利用這個(gè)點(diǎn)作為填空和選擇題中的小陷阱，因?yàn)橐徊涣?神就會(huì)寫(xiě)成D(X Y) D(X) D(Y),正如

12、 E(X Y) E(X) E(Y)—樣，但實(shí)際上 D(X Y) D(X) D(Y) 2cov(X,Y)) 若X、Y相互獨(dú)立，則有 E(XY) E(X)E(Y) DX無(wú)對(duì)應(yīng)性質(zhì) 若X、Y相互獨(dú)立則同時(shí)具有以下4條性質(zhì)：1. E(XY) E(X)E(Y) 2. D(X Y) D(X) D(Y)3. (x,y) 04. cov(x, y) 0 ,利用各式定義可以推導(dǎo)出來(lái)。 考試大綱對(duì)第四章《大數(shù)定理和中心極限定理》的要求是：“了解切比雪夫不等式， 了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律，了解格林定理和林莫佛定理”。 這三個(gè)“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不

13、考的，只出現(xiàn)過(guò)直接考察公式定 義的小題。同時(shí)本章的幾個(gè)公式、定理也不好記，推導(dǎo)就更不是什么簡(jiǎn)單任務(wù)了。即便如此, 以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因?yàn)閷?duì)于這樣“又難、大綱要求又低”的知 識(shí)點(diǎn)考試時(shí)出題的深度也會(huì)是最淺的。 如在真題中出現(xiàn)過(guò)的一個(gè)本章的填空題幾乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本 身，這樣的情況對(duì)于難度低的知識(shí)點(diǎn)和重要知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)是絕不可能出現(xiàn)的，比如若你在 06 2、 _ 2 ,、 年考研數(shù)學(xué)試卷上見(jiàn)到一道填空題是讓填出 DX E(x ) E (x)這個(gè)公式的話，那你 肯定是把題義理解錯(cuò)了。 所以花時(shí)間記住這幾個(gè)公式其實(shí)是比較劃算的，因?yàn)槿绻荚嚦鲆坏烙嘘P(guān)的填

14、空題， 4 分的得失將完全取決于記沒(méi)記住公式。 這樣的4分當(dāng)然要比在大題中絞盡腦汁得到的 4分好 拿的多。從另一方面說(shuō)，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨(dú)立同分 布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機(jī)變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即 Xi 1 n E( X。。因?yàn)閄i獨(dú)立同分布，所以有E(Xi) n i 1 1 n 1 右側(cè)-i1E(Xi) 1 n 應(yīng)有 lim P(- Xi n n n i 1 辛欽大數(shù)定律；若用Yn表示在n重伯努利試驗(yàn)中事件 A的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定 Yn 律lim P(2P n n 1。通過(guò)以上的分析可以減少

15、一些死記硬背的難度 概率第五章《數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念》、第六章《參數(shù)估計(jì)》、第七章《假設(shè)檢驗(yàn)》 數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分在考研數(shù)學(xué)試卷中占有概率部分 1/3的分值，這一部分考點(diǎn)較少，參數(shù) 估計(jì)最為重要，其次是樣本與抽樣分布，假設(shè)檢驗(yàn)部分則很少考到。 對(duì)于參數(shù)估計(jì)部分，需要記清楚據(jù)估計(jì)和極大似然估計(jì)各自的步驟，然后通過(guò)足量做 題來(lái)熟練掌握；對(duì)于樣本與抽樣分布，重要的是2分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論 公式，在歷年真題中考察過(guò)； 對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)，大綱要求為：“ 1.理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本 步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤”?？梢?jiàn)大綱對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)的要求還是較高的

16、，但 往年出題不多，不知道會(huì)不會(huì)在以后的考試中加大考察力度。 概率這門(mén)課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)概率論的實(shí)際應(yīng)用，而概率論 則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、 樣本方差等的概念性質(zhì)都能在 概率論中找到出發(fā)點(diǎn)。其實(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)先對(duì)隨機(jī)變量做實(shí)際觀測(cè)得到一系列具體數(shù) 據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上利 用參數(shù)估計(jì)等方法推斷出隨機(jī)變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過(guò)程。 參數(shù)估計(jì)中的矩估計(jì)法就 是令總體矩與樣本矩相等，建立等式以求出總體矩；極大似然估計(jì)中的似然函數(shù) L()就是 指樣本(X1，X2， Xn)取觀察值(X1，

17、X2， Xn)的概率 n P(X1 X1，X2 X2， Xn Xn),自然應(yīng)等于 f (xi，)，其值越大就說(shuō)明 越 有利于使者組樣本值出現(xiàn)，故極大似然估計(jì)法要求求出使 L()取最大值的 作為參數(shù) 的估計(jì)量。 分析理解一下概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的前后聯(lián)系可以起到“在大腦中進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮”的作用，而 且這兩部分的題目應(yīng)該可以相互結(jié)合，從近年來(lái)的真題中可以隱隱約約感受到這種趨勢(shì)。 i.i 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第1章 隨機(jī)事件及其概率 (1)排列 組合公式 Pmn -^― 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 (m n)! Cm —m— 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。 n!(m n)!

18、 (2)加法 和乘法原 理 加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n 某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由 m種方法完成，第二種 方法可由n種方法來(lái)無(wú)成，則這件事口」由 m+n種方法來(lái)無(wú)成。 乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)： mx n 某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由 m種方法完成，第二個(gè) 步驟可由n種方法來(lái)無(wú)成，則這件事口」由 mx n種方法來(lái)無(wú)成。 (3) 一些 常見(jiàn)排列 重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序) 對(duì)立事件(至少有一個(gè)) 順序問(wèn)題 (4)隨機(jī) 試驗(yàn)和隨 機(jī)事件 如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果 不止一個(gè)，但在進(jìn)一次試驗(yàn)之前卻不

19、能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則 稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。 試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。 (5)基本 事件、樣 本空間和 事件 在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這『組事 件，它具肩如下性質(zhì)： ①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件； ②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。 這『組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用 來(lái)表示。 基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。 一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)(基本事件 )組成的集合。通常用 大寫(xiě)字母A, B, C,…表示事件，它們是 的子集。 為必然事件，？為/、可能事件。 不可能事件(？)的概率為零，

20、血概率為零的事件/、一定是不可能事 件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定 是必然事件。 (6)事件 的關(guān)系與 運(yùn)算 ①關(guān)系： 如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必后事件 B發(fā)生)：A B  如果同時(shí)有A B, B A,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A 等于B: A=B A B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B,或者A+B。 屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為 A-B,也可表示為A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。 A B同時(shí)發(fā)生：A B,或者AB A B=?,則表示A與B不可能同 時(shí)發(fā)生，稱事件A

21、匕事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ?相容的。 -A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為Ao它表示 A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。 ②運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U(BU C)=(A U B) U C 分配率：(AB)UC=(AU C) A (B U C) (A U B) A C=(AC)U (BC) Ai 入 _ _ _ _ 德摩根率：i 1 i 1 ABAB,ABAB (7)概率 的公理化 定義 設(shè) 為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A),若滿足卜列三個(gè)條件： 1 0< P(A) < 1, 2 P( Q) =1

22、30對(duì)于兩兩互不相容的事件 A\ A2,…有 常稱為可列(完全)可加性。 則稱P(A)為事件A的概率。 (8)古典 概型 1o 1, 2 n , c。 1 2 P( 1) P( 2) P( n) -o n 設(shè)任一事件A,它是由1, 2 m組成的，則有 P(A)= (1) (2) ( m) =P( 1) P( 2) P( m) (9)幾何 概型 若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限/、可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述， 則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A, P(A) 。其中L為幾何度里(長(zhǎng)度、面積、體積)。 L()

23、(10)力口 法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 當(dāng) P(AB)=0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B) (11)減 法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 當(dāng) B A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B) 當(dāng) A=Q時(shí)，P( B)=1- P(B) (12)條 件概率 定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條 P(A) 件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) P(AB)0 P(A) 條件概率是概率的一種，所后概率的性質(zhì)都適合于條件概率。 例如 P(Q/B)=1 P(B/A)=1-P(B/A) (13)乘

24、法公式 乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A) 更一般地，對(duì)事件 A, A2,…入，若P(AA…A-1)>0,則有 P(A1A2 ... An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 ... An 1) 0 (14)獨(dú) 立性 ①兩個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨(dú) 立的。 若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) ,則有 若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、入與"B也都 相互獨(dú)立。 必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。 ?與任何事件都互斥。 ②多個(gè)事件的獨(dú)立性 設(shè)A

25、BCg三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件， P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C); P(CA尸P(C)P(A) 并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A B、C相互獨(dú)立。 對(duì)于n個(gè)事件類似。 (15)全 概公式 設(shè)事件B1，B2, ，Bn滿足 1。B1,B2, ，Bn兩兩互/、相容,P(Bi) 0(i 1,2, ，n), n A Bi 2 i 1 ， 則有 P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2) P(Bn)P(A| Bn)。 (16)貝 葉斯公式 設(shè)事件B1, B2,…,Bn及A滿足 1 。 B1

26、, B2 ,…，Bn 兩兩—相容,P(Bi)>0, i 1, 2,…， n， n A Bi 2 i 1 P(A) 0 則 P(Bi)P(A/Bi) 一 八 P(Bi/A) n ———，i=1， 2, - no P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即為貝葉斯公式。 P(Bi), (i 1 , 2 ,n),通常叫先驗(yàn)概率。P(B"A), ( i 1, 2、…、n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概  率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。 (17)伯 努利概型 我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足 每次試驗(yàn)只啟兩種可能結(jié)果, A發(fā)生或A不發(fā)生； n次試驗(yàn)

27、是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣； 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A 發(fā)生與否是立耳、影響的。 這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。 用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1Pq，用 Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率， Pn(k) C：pkqn k, k 0,1,2, ,no 第二章隨機(jī)變量及其分布 (1)離 散型隨 機(jī)變量 的分布 律 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為K(k=1,2,…)且取各個(gè)值的 概率，即事件(X=X)的概率為 P(X=Xk)=pk, k=1,2,…， 則稱上式為離散型隨機(jī)變量X

28、的概率分布或分布律。有時(shí)也用分 布列的形式給出： X | X1, X2, ,xk, P(X Xk) p1, p2, , pk, o 顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件： pk 1 (1)pk 0, k 1,2, , (2) k1 。 (2)連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的分布 密度 設(shè)F(X)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí) 數(shù)x,有 X F(x) f(X)dX 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f (X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)， 簡(jiǎn)稱概率密度。 密度函數(shù)具有卜4 4個(gè)性質(zhì)： 1 。 f(X) 0。 f(X)dX 1 2 o (3)離 散與連 續(xù)型隨 機(jī)變量 的

29、關(guān)系 積分元f(X)dX在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與 P(X Xk) pk 在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。  (4)分 布函數(shù) 設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù) 稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 P(a X b) F(b) F(a) 可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b］的概率。 分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(- oo, x］內(nèi)的概率。 分布函數(shù)具有如下性質(zhì)： 1 0 F(x) 1, x ; 2 F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即xi x2時(shí)，有F(xi) F(x2)； 3 F( ) lim F(x) 0, F( ) lim F(x) 1;

30、 x x 4 F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的； 5 P(X x) F(x) F(x 0)。 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x) pk ; xk x x 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn) (x) f (x)dx o (5)八 大分布 0-1分布 二項(xiàng)分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為 X ,則X可能取值為 0,1,2, ,n。 P(X k) Pn(k) C：pkqnk,其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, ,n, 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布。記為 X

31、 ~ B(n, p)。 當(dāng) n 1 時(shí)，P(X k) pkq1k, k 0.1 ,這就是(0-1 ) 分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 k P(X k) —e , 0, k 0,1,2 , k! 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 X ~ ()或者 P()。 泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=x , n-oo) 0 超幾何分 布 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為 H(n,N,M)。 幾何分布 P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何

32、分布，記為G(p)。 均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在［a , b］內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在 1 1 ［a , b］上為吊數(shù) ,即 b a 1 a

33、 ,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的 指數(shù)分布。x 0 X的分布函數(shù)為 「1 e x, x 0 F(x) {、0體和八八. ‘ L ? 10住積分公斯 0  正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 1 (L-L f(x) -^^e 2 , x , 戶 其中、 。為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 、 的正態(tài)分布或圖斯(GausS)分布，記為 2 X~N( , )0 f(x)具肩如下性質(zhì)： 1 。 f(x)的圖形是關(guān)于x 對(duì)稱的； 1 2 當(dāng)x 時(shí)，f( ) 為最大值； 2 J2 若X~N( x,典X的分布函數(shù)為 F(x) e 2 dt 42 … 參數(shù)

34、 0、 1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記 為X~N(，1),其密度函數(shù)記為 (x) f e 2 “2 , x , 分布函數(shù)為 1 x I (x) -^= e 2 dt。 J2 (x)是不可.求積函數(shù)，具函數(shù)值，已編制成表可供查用。 ①(-x) = 1-①(x)且①(0)=二。 X 2 如果 X~N( , 2),則^ N(0,1)o P(x1 X x2) 。 (6)分 位數(shù) 下分位表：P(X )=； 上分位表：P(X )=。 ⑺函 數(shù)分布 離散型 已知X的4 ? X /布列為 x1, x2, , xn, ? P(X xi) Y g(X)白 Y

35、 p1, p2, , pn, 勺分布列(y g(Xi)立/、相等)如下： g(x1), g(x2), , g(xn), P(Y yi) 若由某些g 概率。 置相等彳則應(yīng)將搬的pi相加作為g(xi)的 連續(xù)型 先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y)= P(g(X)

36、(為*)}的概率為p 稱 為 =(X, Y)的分布彳t或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。 聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： y1 y2 … yj … x1 P11 P12 … P1j … x2 P21 P22 … P2j … xi Pi1 … … 這里pj具有下面兩個(gè)性質(zhì): (1) Pj >0 (i,j=1,2,…)； 連續(xù)型 (2) pj 1. 對(duì)于二維隨機(jī)向量 (X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù) f (x, y)( x , y ),使對(duì)任意一個(gè)其鄰 邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域

37、 D,即 D={(X,Y)|a0; (2) f(x, y)dxdy 1. (2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì) (3)聯(lián)合 分布函數(shù) 設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,y,二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量 X和Y的 聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個(gè)以全平向?yàn)槠涠x域，以事件 {( 1, 2)| X( J x, Y( 2)

38、 y}的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí) 信函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)： (1) 0 F(x, y) 1; (2) F (x,y )分別對(duì)x和y是非減的，即 當(dāng) x2>xi 時(shí),有 F(x2,y ) >F(xi,y);當(dāng) y2>yi 時(shí),有 F(x,y 2) >F(x,y 1); (3) F (x,y )分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即 (4) F( , ) F( ,y) F(x, ) 0,F( , ) 1. (5)對(duì)于 x1 x2, y1 y2, F(x2,、2)F(x2, y1) F(x1，Y2) F(x1，y1) 0. (4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系 (5)邊緣

39、分布 離散型 X的邊緣分布為 Pi? P(X xi) Pj(i,j 1,2,); Y的邊緣分布為 P?j P(Y yj) Pj(i, j 1,2, )o 連續(xù)型 X的邊緣分布密度為 Y的邊緣分布密度為 (6)條件 分布 離散型 在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為 在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為 連續(xù)型 在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 ? / ?、 f(x,y) f(x|y) 一、； fY(y) 在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為 ⑺" 性 一M型 F(X,Y)=Fx(x)F Y(y) 離散型 后零不獨(dú)立 連續(xù)型 f

40、(x,y)=f x(x)f Y(y) 直接判斷，充要條件： ①可分離義量 ②正概率密度區(qū)間為矩形 二維正態(tài) 分布 二0 隨機(jī)變量 的函數(shù) 若Xl,X2, ???X,Xm+1相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù)，則: h (Xi, X2,…淘和g (Xm+「-X)相互獨(dú)立。 特例：若X與Y獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。 例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。 (8)二維 均勻分布 設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為 其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X, Y)服從D上的均勻分布，記為 (X, Y)?U (D)。 (9)二維 正態(tài)分布 o 設(shè)隨機(jī)向量(X,

41、 Y)的分布密度函數(shù)為 其中 1，2, 1 0，2 0，I I 1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維 正態(tài)分布， 記為(X, Y) -N ( 1，2, 12，22，). 由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍 為正態(tài)分布， 即X?N ( 1, 2)，Y~N( 2, 2). 但是若X?N ( 1，12),Y~N( 2, 2) , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。 (10)函 數(shù)分布 Z=X+Y 根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z) 對(duì)于連續(xù)型，f z(z) = f(x, z

42、 x)dx 兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布 (1 2, 1 2 )。 n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。 _ 2 _ 2 2 Ci i , Ci i Z=max,min (Xl,X2, Xn) 若Xi,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為 Fx1 (x), Fx2 (x) Fxn (x),則 Z=max,min(Xi,X2, X)的分 布函數(shù)為： 2分布 設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2, ,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布，可以證明它們的平方和 的分布醬度為 我們稱隨機(jī)變量 W服從自由度為n的2分布，記為M 2(n),其中 所謂自由度是

43、指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨 機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。 2分布滿足可加性：設(shè) 則 t分布 設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 可以證明函數(shù) 的概率密度為 我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為丁? t(n)。 F分布 設(shè)X~ 2(ni),Y~ 2(1),且*與丫獨(dú)立，可以證明 F 工/上的概率密度函數(shù)為 Y/n2 我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由 度為n2的F分布，記為F?f(n i, n 2). 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 (1) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征 離散型 連續(xù)型 期望 期望就是平均值 設(shè)

44、X是離散型隨機(jī)變量，其 分布律為P( X xk) = pk, k=1,2,…,n , (要求絕對(duì)收斂) 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概 率密度為f(x), (要求絕對(duì)收斂) 函數(shù)的期望 Y=g(X) Y=g(X) 、、..、.廣. 力左 D(X)=E[X-E(X)] 2, 標(biāo)準(zhǔn)差 (X) JDX),  矩 ①對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變 量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk, 即 V k=E(Xk)= Xik Pi , k=1,2,…. ②對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變 量X與E (X)差的k次幕 的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心 矩，記為k ,即

45、=(Xi E(X))kpi , k=1,2,…. ①對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量 X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的 k階原點(diǎn)矩,記為Vk,即 v k=E(X")= xkf(x)dx, k=1,2, ②對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量 X與E (X)差的k次幕的數(shù)學(xué) 期望為X的k階中心矩，記為 …即 k =(X E(X)) f(x)dx, k=1,2,…. 切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E (X)=-方差D (X) =J, 則對(duì)于任意正數(shù)e ,后卜列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式給出了在未知 X的分布的情況卜，對(duì)概率 的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。 (2) 期望 的性 質(zhì)

46、 (1) E(C尸C (2) E(CX尸CE(X) n n (3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( GXi) CiE(Xi) i 1 i 1 (4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：*和 丫獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 (3) 、、..、.廣. 力左 的性 質(zhì) (1) D(C)=0; E(C)=C (2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X) (3) D(aX+b)= a 2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b (4) D(X)=E(X 2)-E 2(X) (5) D(XY尸D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立；

47、充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無(wú)條件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無(wú)條件成立。 (4) 常見(jiàn) 分布 的期 望和 、、..、.廣. 力左 期望 、、..、.廣. 力左 0-1 分布 B(1, p) P 二項(xiàng)分布B(n, p) np 泊松分布P() 幾何分布G(p) 超幾何分布H(n,M,N)  均勻分布U (a,b) 指數(shù)分布e() 止態(tài)分布N( , 2) n 2n t分布 0 —(n>2) n 2

48、 (5) 二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征 期望 函數(shù)的期望 E[G(X,Y)] = E[G(X,Y)] = 、、..、.廣. 力左 協(xié)方差 對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩 ii為X與 Y的協(xié)力差或相關(guān)矩,記為 xy或cov(X,Y),即 與記號(hào)xy相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D (X)與D (Y)也可分 別記為XX與YY 0 相關(guān)系數(shù) 對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱 為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作 xy (有時(shí)可簡(jiǎn)記為 )。 | 尸1,當(dāng)| |=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)： P(X aY b) 1 士人和* 正相關(guān)，

49、當(dāng) 1時(shí)(a 。)， 負(fù)相關(guān)，當(dāng) 1時(shí)(a 0), 而當(dāng) 0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。 以卜五個(gè)命題是等價(jià)的： ① XY 0 ； ② cov(X,Y)=0; ③ E(XY尸E(X)E(Y); ④ D(X+Y尸D(X)+D(Y); ⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y). 協(xié)方差矩陣  混合矩 對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X 與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為ki ; k+l階混合中心矩記 為： (6) 協(xié)方 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); 差的 性質(zhì) (i

50、ii) cov(Xi+X, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). ⑺ (i) 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則 xy 0；反之不真。 和不 相關(guān) (ii ) 若(X, Y) -N ( 1，2，12, 2，), 則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 (1)大數(shù)定律 切比 ■ 定律 設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且 被同一常數(shù)C所界：D (X)

51、X) =卜,則上式成為 努大定 伯利數(shù)律 設(shè)仙是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事 件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)? 有 伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n很大時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。 辛欽 ■ 定律 設(shè)X, X …，Xn,…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序 歹1」，且E (X)二仙，則對(duì)于任意的正數(shù)e有 (2)中心極限 定理 列維 —林 德伯 格定 理 設(shè)隨機(jī)變量X, …相互獨(dú)立，服從同一分布， 且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差： 2 一一，一、 一 E(Xk) ,D(Xk) 0(k 1,2

52、,),則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,有 此定理也稱為 獨(dú)立同分布的中心極限定理。 棣莫 弗_ 拉普 定理 設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n, p(0

53、體看成一 個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。 個(gè)體 總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。 樣本 我們把從總體中抽取的部分樣品 \,X2, , 4稱為樣本。 樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量， 一般用n表示。在 一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總 體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣 本。在泛指於^次抽取的結(jié)果時(shí)，x1,x2, ,xn表小n 個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后， X1,X2, ,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之 為樣本的兩重性。 樣本曲數(shù) 和統(tǒng)力里 設(shè)Xi,X2, ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱 （Xi,X2, ,X

54、n） 為樣本函數(shù)，其中 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果 中不包含 任何未知參數(shù)，則稱 （Xi,X2, ,Xn）為一個(gè)統(tǒng)同。  常見(jiàn)統(tǒng)計(jì) 量及其性 質(zhì) , 一 1 n 樣本均值 X 1 Xi. n i 1 樣本方差 1 n _ S2 -- (Xi x)2. n 1 i 1 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S J (Xi x). n n 1 i 1 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩 2 E(X) , D(X)一, n _2 2 _2 n 1 2 E(S ) , E(S* )—, n ... c 1n — c 其中S*2 — (Xi X)2 ,為二階中心矩。 n i 1

55、 (2)正態(tài) 總體下的 四大分布 正態(tài)分布 設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自正態(tài)思體 N(,)的一個(gè)樣本， M樣本函數(shù) t分布 設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自正態(tài)思體 N(,)的一個(gè)樣本， M樣本函數(shù) 其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。 設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自正態(tài)思體 N(,)的一個(gè)樣本， M樣本函數(shù) 其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。 F分布 設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自正態(tài)思體 N( , 1 )的一個(gè)樣本， 而y1,y2, ,yn為來(lái)自正態(tài)思體n( , 2)的一個(gè)樣本， M樣本函數(shù) 其中 F(n1 1,n2 1)表示第一自由度為n1

56、1,第二自由度為 n2 1的F分布。 (3)正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì) X與S2獨(dú)立。 第七章參數(shù)估計(jì) (1) 點(diǎn)估 計(jì) 矩估計(jì) 設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m，則其分布函數(shù)可 以表成F(X； 1，2， ，m).它的k階原點(diǎn)矩 Vk E(Xk)(k 1,2, ,m)中也包含了未知參數(shù)1, 2, , m，即 Vk Vk( 1, 2, , m)。又設(shè)X1,X2, , Xn為總體X的n個(gè)樣本值， 其樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估同時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的 樣本矩”的原則建立方程，即有 由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)(1, 2, ,

57、m)即為 參數(shù)(1, 2, , m)的矩估W。 若 為 的矩估計(jì)，g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估 計(jì)。 極大似 然估計(jì) 當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為 f(X； 1 , 2 , , m),其中1,2, , m為未知參數(shù)。又設(shè) X1 ,X2, ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱 為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n. 當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為 P{X X} p(X； 1,2, , m)，則稱 為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù) L(X1, X2 , ,Xn； 1, 2, , m)在 1, 2 , , m 處 取到最大值，則稱1,2, , m分別為1,

58、2, , m的最大似然 估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估同。 若 為 的極大似然估計(jì)，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的 極大似然估計(jì)。 (2) 估計(jì) 量的 評(píng)選 標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)偏性 設(shè) (X1,X2, ,Xn)為未知參數(shù)的估計(jì)量。右E ()=, 則稱為的無(wú)偏估“Mo E (X) =E (X) , E (S2) =D (X)  后效性 設(shè) 1 1(Xi,X,2, ‘Xn/口 2 2(Xi,X,2, , Xn )是未知參數(shù) 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若D( 1)D( 2),則稱1比2有效。 T性 設(shè)n是 的一串估同，如果對(duì)于任意的正數(shù) ，都有 則稱n為 的一致估沙里(

59、或相合估訂里)。 若 為 的無(wú)偏估計(jì)，且D(?) 0(n 工則 為 的一致估 計(jì)。 只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函 數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估同。 (3) 區(qū)間 估計(jì) 置信區(qū) 問(wèn)和置 信度 設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本 Xi,X,2, ,Xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)里 1 i(Xi,X,2 , ,Xn)與 2 2(X1,X,2 , ,Xn)( 1 2),使得區(qū)間［1, 2】以 1 (0 1)的概率包含運(yùn)個(gè)待估參數(shù) ，即 那么稱區(qū)間［1,2］為 的置信區(qū)間，1 為該區(qū)間的置信度 (或置信水平)。 單正態(tài) 總體的 期望和 方差的 區(qū)間估

60、 計(jì) 設(shè)X1,X,2, ,Xn為總體X~N(,)的一個(gè)樣本，在置缶度為 1 下，我們來(lái)確定 和2的置信區(qū)間［1, 2］。具體步驟如 下： (i )選擇樣本函數(shù)； (ii )由置信度1 ,查表找分位數(shù)； (iii )導(dǎo)出置信區(qū)間［1，2］。 已知方差，估計(jì)均值 (i )選擇樣本函數(shù) (ii) 查表找分位數(shù) (iii )導(dǎo)出置信區(qū)向 未知方差，估計(jì)均值 (i )選擇樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù) (iii )導(dǎo)出置信區(qū)向 方差的區(qū)間估計(jì) (i )選擇樣本函數(shù) (ii )查表找分位數(shù) (iii )導(dǎo)出的置信區(qū)問(wèn) 第八章假設(shè)檢驗(yàn) 基本思 想 假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)

61、計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為 基本上是不會(huì)發(fā)生的，即小概率原理。 為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根 據(jù)這個(gè)假定導(dǎo)致了一個(gè)不合理的事彳^發(fā)生，那就表明原來(lái)的假定 H0 是/、止確的，我們拒絕接受 H0;如果由此沒(méi)有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則 不能拒2接受H0,我們稱H0是相容的。與H相對(duì)的假設(shè)稱為備擇假設(shè)， 用H表示。 這里所說(shuō)的小概率事件就是事件｛K R ｝,其概率就是檢驗(yàn)水平 a,通常我們?nèi) =0.05,有時(shí)也取0.01或0.10。 基本步 驟 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下： (i) 提出零假設(shè)H； (ii) 選擇統(tǒng)K\星K; (iii)

62、 對(duì)于檢驗(yàn)水平a查表找分位數(shù)入； (iv) 由樣本值Xi,X2, ,Xn計(jì)算統(tǒng)同之值K； 將K與 進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)| K | (或K )時(shí)否定否則認(rèn) 為H相容。 兩類錯(cuò) 誤 第一類錯(cuò)誤 當(dāng)H為真時(shí)，而樣本值卻落入了否定域，按照我們 規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)否定 H。這時(shí)，我們把客觀 上代成立判為H0為不成立(即否定了真實(shí)的假設(shè)), 稱這種錯(cuò)誤為“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤或第一類錯(cuò)誤， 記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即 P｛否定H0| H為真｝二; 此處的a恰好為檢驗(yàn)水平。 第二類錯(cuò)誤 當(dāng)H為真時(shí)，而樣本值卻落入了相容域，按照我們 規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受 H。這時(shí)，我們把客觀 上代。不成

63、立判為H0成立(即接受了不真實(shí)的假設(shè))， 稱這種錯(cuò)誤為“以假當(dāng)真”的錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤， 記為犯此類錯(cuò)誤的概率，即 P｛接受H0| H為真｝二。 兩類錯(cuò)誤的關(guān) 系 人們當(dāng)然希望3曬類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。 但 是，當(dāng)容量n 一定時(shí)， 變小，則 變大；相反地， 變小，則 變大。取定 要想使 變小，則必須增 加樣本容量。 在實(shí)際使用時(shí)，通常人們只能控制犯第一類錯(cuò)誤 的概率，即給定顯著性水平a。a大小的選取應(yīng)根 據(jù)實(shí)際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而/、 愿“以真當(dāng)假”時(shí)，則應(yīng)把a(bǔ)取得很小，如 0.01 , 甚至0.001。反之，則應(yīng)把a(bǔ)取得大些。 單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn) 條件 零假設(shè) 統(tǒng)計(jì)量 對(duì)應(yīng)樣本 函數(shù)分布 否定域 已知2 N (0, 1) 未知2 7^ 2