陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例 例談回歸分析的應(yīng)用素材 北師大版選修

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1、 例談回歸分析的應(yīng)用 　　在解許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用回歸分析的基本思想，通過(guò)構(gòu)建回歸模型去刻畫(huà)解釋變量與預(yù)報(bào)變量的關(guān)系，并利用模型，對(duì)解釋變量的某個(gè)值去預(yù)測(cè)相應(yīng)預(yù)報(bào)變量的某個(gè)值，從而使問(wèn)題得到解決． 　　建立回歸模型解實(shí)際問(wèn)題的步驟是： 　?。?）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量； 　?。?）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系； 　?。?）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型，即擬合直線或擬合曲線； 　　（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)，從而求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式； 　　（5）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制

2、，以便為決策提供依據(jù)． 　　下面舉例說(shuō)明． 　　例1　某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)元與日銷售量臺(tái)之間有如下關(guān)系： 35 40 45 50 56 41 28 11 　?。?）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程； 　?。?）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)． 　　解析：（1）散點(diǎn)圖如右圖所示，并從圖中可以看出， 這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)． 　　設(shè)回歸直線為，則由公式求 得，． 　　

3、∴； 　?。?）依題意有， 　　∴當(dāng)時(shí)，有最大值約為． 　　即預(yù)測(cè)銷售單價(jià)為元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)． 1 / 3 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查構(gòu)建線性回歸模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用． 　　例2　某國(guó)從1790年至1950年人口數(shù)據(jù)資料： 時(shí)間 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 人口 （百萬(wàn)） 3.929 5.308 7.24 9.368 12.866 17.069 23.182 31.43

4、3 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 　　試?yán)蒙鲜鲑Y料預(yù)測(cè)該國(guó)1980年的人口數(shù)（假設(shè)該國(guó)政治、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)環(huán)境穩(wěn)定，且人口數(shù)相對(duì)于時(shí)間是連續(xù)的）． 　　分析：以軸代表年度，軸代表人口數(shù)，建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)出散點(diǎn)圖（略），并觀察散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，從1890年以后散點(diǎn)近似分布在一條直線上；而從散點(diǎn)圖的整體趨勢(shì)來(lái)看，也可以認(rèn)為散點(diǎn)近似分布在一條拋物線上，故可采用線性回歸模型擬合，或采用二次函數(shù)模型擬合． 　　解法一：由散點(diǎn)圖可以看出，1890年以后散點(diǎn)大致分布在一條直線上，設(shè)線

5、性回歸直線方程為，由公式求得， 即． 　　∴當(dāng)時(shí)，，即1980年該國(guó)人口預(yù)測(cè)為194.859百萬(wàn)人． 　　解法二：從散點(diǎn)的整體趨勢(shì)看，散點(diǎn)近似分布在一條以直線為對(duì)稱軸，以點(diǎn)（1790，3.929）為頂點(diǎn)的拋物線上，再任意選一點(diǎn)（1890，62.948）確定拋物線方程為． 　　∴當(dāng)時(shí)，，即該國(guó)人口預(yù)測(cè)為216.919百萬(wàn)人． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查重視對(duì)信息、圖表的分析，提取，加工和處理能力．兩種解法，由于考慮問(wèn)題和觀察角度不同，所得到結(jié)論和答案也不相同，線性回歸模型是在依據(jù)部分已知數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作出的，因此精確度比較差；而二次函數(shù)模型是根據(jù)全部已知數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì)擬合的，因而有較高的精確度．當(dāng)然，同學(xué)們可以進(jìn)一步利用回歸分析的方法，通過(guò)利用相關(guān)指數(shù)來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！