陜西省吳堡縣吳堡中學高中數學 第一章 數列要點講解素材 北師大版必修

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1、 數 列 一、高考要求 1． 理解數列的有關概念，了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前n項. 2． 理解等差（比）數列的概念，掌握等差（比）數列的通項公式與前n項和的公式. 并能運用這些知識來解決一些實際問題. 3． 了解數學歸納法原理，掌握數學歸納法這一證題方法，掌握“歸納—猜想—證明”這一思想方法. 二、熱點分析 1.數列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題，分值占整個試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式、極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的

2、計算技能要求比較高，解答題大多以考查數列內容為主，并涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目. 2.有關數列題的命題趨勢　?。?）數列是特殊的函數，而不等式則是深刻認識函數和數列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現出的代數推理是近年來高考命題的新熱點　?。?）數列推理題是新出現的命題熱點.以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數列題中也加強了推理能力的考查。（3）加強了數列與極限的綜合考查題　　 3.熟練掌握、靈活運用等差、等比數列的性質。等差、等比數列的有關性

3、質在解決數列問題時應用非常廣泛，且十分靈活，主動發(fā)現題目中隱含的相關性質，往往使運算簡潔優(yōu)美.如，可以利用等比數列的性質進行轉化：從而有，即. 4.對客觀題，應注意尋求簡捷方法　　解答歷年有關數列的客觀題，就會發(fā)現，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡捷的方法求解.現介紹如下：　?、俳柚厥鈹盗?　?、陟`活運用等差數列、等比數列的有關性質，可更加準確、快速地解題，這種思路在解客觀題時表現得更為突出，很多數列客觀題都有靈活、簡捷的解法　　 5.在數列的學習中加強能力訓練　數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而

4、解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視.因此，在平時要加強對能力的培養(yǎng) 2 / 6 。 6．這幾年的高考通過選擇題，填空題來著重對三基進行考查，涉及到的知識主要有：等差（比）數列的性質. 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進行考查，其中涉及到方程、不等式、函數思想方法的應用等，綜合性比較強，但難度略有下降. 三、復習建議 1． 對基礎知識要落實到位，主要是等差（比）數列的定義、通項、前n項和. 2． 注意等差（比）數列性質的靈活運用. 3． 掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數列前n項和的求和方法. 4．

5、注意滲透三種數學思想：函數與方程的思想、化歸轉化思想及分類討論思想. 5． 注意數列知識在實際問題中的應用，特別是在利率,分期付款等問題中的應用. 6． 數列是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現，所以我們在復習時應給予重視。近幾年的高考數列試題不僅考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。 四、典型例題 【例1】 已知由正數組成的等比數列，若前項之和等于它前項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列的通項公式. 解：∵q=1時， 又顯然，q≠1

6、 ∴ 依題意；解之 又， 依題意，將代入得 【例2】 等差數列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然數n。 解：設公差為d，則或或或 解得： a33 = 30 與已知矛盾 或 a33 = - 15 與已知矛盾 或a33 = 15 或 a33 = - 30 與已知矛盾 ∴an = 31+(n - 1) () 31 0 n≥63 ∴滿足條件的最小自然數為63。 【例3】 設等差數列{a}的前n項和為S，已知S4=44,S7=35 （1）求數列{a}的通項公式與前n項和公式； （2）求數列的前n項和Tn。 解：（1）設數列

7、的公差為d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4 ∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N). （2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故當n≤5時，a≥0, 當n≥6時， 當n≤5時,T=S=-2n+19n 當n≥6時,T=2S5-S=2n-19n+90. 【例4】 已知等差數列的第2項是8，前10項和是185，從數列中依次取出第2項，第4項，第8項，……，第項，依次排列一個新數列，求數列的通項公式及前n項和公式。 解：由 得 ∴ ∴ 【例5】 已知數列1，1，2……它的各項由一個等比數列與一個首項為0的等差數列的對應項相加

8、而得到。求該數列的前n項和Sn； 解：(1)記數列1，1，2……為{An}，其中等比數列為{an}，公比為q； 等差數列為{bn}，公差為d，則An =an +bn (n∈N） 依題意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ② A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③ 由①②③得d=-1, q=2, ∴ ∴ 【例6】 已知數列滿足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項an,并加以證明。 解法1：由an+Sn=n, 當n=1時，a1=S1，\a1+a1=1，得a1= 當n=2時，a1+a2=S2，由a

9、2+S2=2，得a1+2a2=2，\a2= 當n=3時，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3\a3= 猜想，(1)下面用數學歸納法證明猜想成立。 當n=1時,a1=1-,(1)式成立 假設,當n=k時,(1)式成立,即ak=1-成立， 則當n=k+1時,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 \2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk \2ak+1=1+ak \ak+1= 即當n=k+1時,猜想（1）也成立。 所以對于任意自然數n,都成立。 解法2：由an+Sn=n得，兩式相減得：， 即，即，下略 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！