《第4章傅里葉方法在信號(hào)與系統(tǒng)分析中的應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第4章傅里葉方法在信號(hào)與系統(tǒng)分析中的應(yīng)用（67頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)就是從一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 中按照一定的時(shí)間間隔提取一系列離散樣本值的過程；通過取樣得到離散信號(hào)稱為，記為 。n完成這種取樣過程的： f t( )f t( )sft( )p t取樣脈沖取樣信號(hào)連續(xù)信號(hào) sft回目錄據(jù)此模型，取樣信號(hào)可以表示為：（41）式中 為。 （42） sftf t p t p t sFjFTf t p t12Fjp j sskFjp kk sskp kFjk回目錄 p t若取樣脈沖 為單位沖激序列，即則由（41）有： （43） p t ssnf nTtnT回目錄由于沖擊抽樣下抽樣脈沖的傅里葉變換仍然是一個(gè)周期沖擊序列，應(yīng)用，可以得到： (44)1sksFjkT
2、回目錄在矩形脈沖取樣的情況下，取樣脈沖 是脈幅為E、脈寬為 、取樣角頻率為 的，它的為： p ts 221sTjktTssp kP t edtT221sTjktTsEedtT2sskESaT 回目錄矩形脈沖取樣情況下： (46) sft2ssskskEFjSaFjT 回目錄頻域取樣的數(shù)學(xué)模型為（47）對(duì)式兩端取傅里葉反變換，得：此式表明，若連續(xù)信號(hào)的頻譜 被間隔為 頻域沖擊序列在頻域中取樣，則在時(shí)域等效于連續(xù) 時(shí)限信號(hào) 以 為周期等幅度的重復(fù)。 11ssftFTFjFT 1sTsf tt1snsf tnTFjs f tsT回目錄圖44 頻域沖擊取樣過程與所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)波形時(shí)域 頻域 周期信號(hào)
3、 周期為離散頻譜離散間隔 ： 抽樣信號(hào)抽樣間隔 重復(fù)頻譜重復(fù)周期 ：112T2ssT1TsT回目錄周期信號(hào)被取樣周期為抽樣間隔為離散頻譜被重復(fù)離散間隔為重復(fù)周期為1TsT112T2ssT：一頻帶受限的信號(hào) ，其頻譜在區(qū)間 以外為零，則該信號(hào) 可唯一地由其在等間隔 上的樣點(diǎn)值 來表示。 f t,hh f tshTsf nT回目錄上述定理表明：為了能夠從取樣信號(hào) 中恢復(fù)原信號(hào) ，取樣過程必須滿足： 連續(xù)信號(hào) 必須是帶限的，其頻譜函數(shù)在 各處為零；取樣間隔 不能過大，必須保證 （49） f t sfthsT1122shhhTTf f t回目錄：在滿足取樣定理的條件下，可以將如下頻 域矩形函數(shù) 與取樣
4、信號(hào)的頻譜 ，從頻譜 中無失真的原信號(hào)的頻譜 ，了 也就恢復(fù)了 。HjsFjsFjFjFj f tsFjHjFj回目錄式中： 且 。 對(duì)式（410）兩邊作傅里葉變換，并應(yīng)用卷積定理有： （411）0sccTHjcs 11sf tFTHjFTFj回目錄式中： （412）由式（43）有 （413） 112ccj tsFTHjT edccSat 1sssnf tFTFjf nTtnT h t回目錄將式（412）、（413）代入式（411）得： （414） sincssnctf tf nTtnTtsincssncstnTf nTtnT回目錄式（414）也稱為內(nèi)扦定理。內(nèi)插過程如下：。 回目錄t回目錄
5、：一個(gè)時(shí)間受限的信號(hào) ，在持續(xù)時(shí)間區(qū)間 以外為零，則該信號(hào)的頻譜 可唯一地由其在等間隔 上的樣點(diǎn)值 來表示。 f t,hht tFj12shftssF nf回目錄進(jìn)行類似于式（414）那樣的推導(dǎo)，可以得到的如下描述： （415）式中： sinhsnhhtnnFjFjttn12hstf回目錄定義零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換與激勵(lì)的傅里葉變換之比為，并按習(xí)慣用 表示，即：Hj00MkkdefkNkkkbjYjHjFjaj回目錄 或者： （416） YjHjFjYjHjFj回目錄其過程如圖47所示： 線性非時(shí)變系統(tǒng)( )f t( )fyt()Fj()Hj()Yj*= =回目錄22( )( )( )43 (
6、 )2 ( )d y tdy tdf ty tf tdtdtdt2( )e( )tf tu t2j2(j )(j )4(j )3Hj2(j1)(j3)21(j )e( )j2tFFTu t從而有，例：例：已知某系統(tǒng)已知某系統(tǒng)求激勵(lì)為 時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)定義可求出j2(j)(j)(j)(j1)(j2)(j3)YHF)()()()(3211tueejFFTtyttf圖49給出了一個(gè)和的例子。 01( )g t2( )g t3( )g t2NT2NTNTNTt回目錄n需要說明的：（1）多路取樣器的確定 （418）（2）確定多路取樣器取樣周期T時(shí)的最大傳送路數(shù)可按下式確定: (419)式中 是（
7、完成一次取樣所需要的時(shí)間）。1minNTTT1minNTTNIntTT回目錄一般情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，即說明信號(hào)在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。失真有和。不產(chǎn)生新的頻率成分。回目錄n所謂是指系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。這個(gè)概念可用公式表述如下： （420） 0y tkftt回目錄對(duì)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)要求（即頻域要求） （421） 即無失真?zhèn)鬏攽?yīng)具備的。 djj tHjKeHje 回目錄（1）為一常數(shù)，即： （422）（2）是一條過原點(diǎn)的負(fù)斜率的直線，即 ； （423） HjK dt ddtd 回目錄n只要系統(tǒng)具有如圖41
8、3所示的幅度頻率特性和相位頻率特性，則該系統(tǒng)對(duì)于 來說，就是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) f t回目錄n對(duì)式（421）作傅里葉變換，可得出： （424） 0h tKtt 1122sinsinf tEtEt回目錄為不產(chǎn)生相位失真，應(yīng)使基波與二次諧波得到相同的延遲時(shí)間，即應(yīng)有：因此滿足如下關(guān)系：12112 常 數(shù)1121212回目錄通過無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)后的輸出為 可見，為了使信號(hào)傳輸時(shí)不產(chǎn)生相位失真和幅度失真，信號(hào)通過線性系統(tǒng)時(shí)n諧波的相移必須與其頻率成正比，即相位特性應(yīng)該是一經(jīng)過原點(diǎn)的直線；n諧波的幅度必須是頻率無關(guān)的常數(shù)?；啬夸浭且环N具有矩形幅度特性和線性相位特性的“理想化”的系統(tǒng)模型，其示于圖414。 回目
9、錄可寫為： （426）n式中： （427） （428） jHjHje 0dj tce其它 0dct 其它10cHj其它回目錄對(duì)式（426）兩端求傅里葉變換，得為： （429） 其波形示于圖415 1h tFTHjccdSatt( )h t0dtdctdctct回目錄n隨著 時(shí)，理想低通濾波器就愈趨于無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，這一點(diǎn)亦可由如下關(guān)系得以確認(rèn)： （430）c 1lim2cdccjt tdttedlimcccdSatt回目錄n有任意輸入信號(hào) ，其為 ；為 ，相應(yīng)的為 ，該信號(hào)通過理想低通濾波器后的為 ，其為 ，則有： f tFj h tHj y tYjYjFjHj0ccFj回目錄從時(shí)域看，這個(gè)結(jié)
10、論也是十分明顯的： （431） 012ccjt tFjed 12j ty tFjHjed回目錄n設(shè)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為 ，它可以寫成 與單位階躍函數(shù)的卷積積分，即： g t h t g tu thdsintcdccdtdt 回目錄則 （433 ）這種積分稱為，常以符號(hào) 表示： （434） 1sincxxg tdxx001sin1sincxxdxdxxx 0sinyixSydxx iSy回目錄注意到 是偶函數(shù)，有： （435）故有： （436）從式（434）可以得到 （437）sin xx00sinsin2xxdxdxxx 011sin2cxxg tdxx112icdStt gth t回目
11、錄n如果我們定義，由輸出由最小值到最大值所需時(shí)間為系統(tǒng)的 （438）式中： （439）2ccBfrt2112rccctfB回目錄則借用式（437）很容易得到理想低通濾波器對(duì)矩形脈沖信號(hào)的響應(yīng)： （440） y tg tg t1icdicdSttStt回目錄n波形如圖417 t()f t10dt2dtdtt()yt1212c回目錄如果一個(gè)系統(tǒng)是的，則要求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 滿足因果性約束，即 （441） 這樣的系統(tǒng)稱 h t 0h t 0t 回目錄n如果一個(gè)因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的n則它的必定滿足如下關(guān)系： （442） 式（442）就是，它是系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的必要條件2Hjd 22ln1Hjd 回目錄n使用
12、符號(hào)函數(shù) ，和之間的關(guān)系可表示為 sgn t 0sgnehth tt 0sgneh thtt回目錄 式（443）的傅里葉變換為： （443） （444）這就是在4.8中將要討論的11IRHjHj 1RHjd 11RIHjHj 1IHd回目錄 （445） （446） 22RIHjHjHj 1IRHjtgHj 回目錄 回目錄 0012X jG j ( )f t( )x t( )g t0012G jG j 回目錄是一個(gè)由已調(diào)信號(hào) 恢復(fù)原信號(hào) 的過程。它是解調(diào)的逆過程，其原理方框圖示于423。 圖中： （448） x t f t 011cos 222f tf tt 00cosftx tt回目錄n為了在
13、接收端省去載波，可考慮在發(fā)射信號(hào)中加入一定強(qiáng)度的，這時(shí)發(fā)射端的合成信號(hào)為： （449） 0cosx tAf tt 0Af t f t x t回目錄n4.7 頻分復(fù)用頻分復(fù)用的理論基礎(chǔ)是傅里葉變換中的調(diào)制性質(zhì)。頻分復(fù)用系統(tǒng)的原理性框圖示于圖425?；啬夸?1( )g t1cost2( )g t2cost.( )NgtcosNt.( )f t至信道傳輸回目錄 .t012345回目錄是指信號(hào)滿足如下因果條件的信號(hào)： （450） 可將其表示為： （451）作傅里葉變換可推得 0f t 0t f tf t u t 11IRId 11RIRd回目錄為了方便，記信號(hào) 的希爾伯特變換為 ，即： （456）對(duì)式
14、（451）兩端作傅里葉變換，得： （457） 1Hftf tt 1Hf tftt sgnHFjFjj00jFjjFj f t Hft回目錄n式中， （458）n對(duì)可以寫出： （459）n式中： （460） 2sgnjHje2200jjejej sgnHFjFjjHFjHj 2sgnjHje2200jjejej 回目錄信號(hào) 與其希爾伯特變換 是具有相同的振幅譜。信號(hào) 與它的希爾伯特變換 是正交的，即： （461） f t Hft 0Hf t ft dt f t Hft回目錄希爾伯特變換的希爾伯特變換是原信號(hào)的反號(hào)，即： （462） H Hftf t 1212HHftftft ft 12Hft ft回目錄n若用下式表示： （464）n為了使分析覆蓋整個(gè)時(shí)間域，可引入一個(gè)，使窗口在整個(gè)時(shí)間軸上移動(dòng)，即： （465） 10mmttw ttt wftf t w t回目錄n基于（465）的傅里葉變換： （466） 稱為n式（466）可寫為： （467）n可以將式（467）寫為如下形式： （468） j twFjf t w tedt j twtFjf t wedta , ,j twtFjaf t wedta 回目錄
第4章傅里葉方法在信號(hào)與系統(tǒng)分析中的應(yīng)用
