高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題精做系列之?dāng)?shù)列數(shù)學(xué)歸納法與極限1

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1、 江西省 高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題精做系列之?dāng)?shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與極限1 一．基礎(chǔ)題組 1. 【上海市黃浦區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末考試（即一模）數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若是和的等比中項(xiàng)，則=________. 2. 【上海市嘉定區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試卷】已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），則的值是__________． 3. 【上海市嘉定區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試卷】若存在，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________． 4. 【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試題】在中，記角、、

2、所對(duì)的邊分別為、、，且這三角形的三邊長(zhǎng)是公差為1的等差數(shù)列，若最小邊，則（ ）． 5. 【上海市浦東新區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷（理卷）】___________. 6. 【上海市普陀區(qū)2014屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】若圓的圓心到直線（）的距離為，則 . 【答案】1 【解析】 試題分析：圓心為，，． 考點(diǎn)：點(diǎn)到直線距離公式，極限． 7. 【2013學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理）考試試卷】計(jì)算：________． 8. 【上海市浦東新區(qū)2013—2014學(xué)年度

3、第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷（理卷）】已知數(shù)列中，，，則=___________. 9. 【2013學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理）考試試卷】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和是,若和都是等差數(shù)列,且公差相等,則=_______________. 【答案】 【解析】 試題分析：等差數(shù)列的公差為，則，，數(shù)列是等差數(shù)列，則是關(guān)于的一次函數(shù)（或者是常函數(shù)），則，，從而數(shù)列的公差是，那么有，（舍去）或，． 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 10. 【上海市十三校2013年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】計(jì)算：=_________． 11. 【上海市十三校2013年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】設(shè)正

4、數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和是,若和{}都是等差數(shù)列,且公差相等,則__ _. 12. 【2013學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）】計(jì)算：= . 【答案】 【解析】 試題分析：這屬于“”型極限問(wèn)題，求極限的方法是分子分母同時(shí)除以（的最高次冪），化為一般可求極限型，即． 考點(diǎn)：“”型極限 13. 【2013學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）】如果()那么共有 項(xiàng). 14. 【上海市楊浦區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）】計(jì)算： ． 15.【上海市長(zhǎng)寧區(qū)

5、2013—2014第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）】已知數(shù)列都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為,且 設(shè)則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于______. 【答案】 【解析】 試題分析：數(shù)列到底是什么暫時(shí)不知，因此我們?cè)囍哑淝?0項(xiàng)的和表示出來(lái)， . 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前和公式. 二．能力題組 1. 【上海市黃浦區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末考試（即一模）數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2016項(xiàng)的和的值是___________． 可行，由此我們可得 ． 考點(diǎn)：分組求和． 2. 【上海市嘉定區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試卷】某種平面分形

6、圖如下圖所示，一級(jí)分形圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形（圖（1））；二級(jí)分形圖是將一級(jí)分形圖的每條線段三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊（圖（2））；將二級(jí)分形圖的每條線段三等邊，重復(fù)上述的作圖方法，得到三級(jí)分形圖（圖（3））；…；重復(fù)上述作圖方法，依次得到四級(jí)、五級(jí)、…、級(jí)分形圖．則級(jí)分形圖的周長(zhǎng)為_(kāi)_________． 圖（1） 圖（2） 圖（3） …… 3. 【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試題】已知函數(shù)，且，則 ． 【答案】 【解析】 試題分析：考慮到是呈周期性的數(shù)列，依次取值

7、，故在時(shí)要分組求和，又由的定義，知 ， ，從而 ． 考點(diǎn)：周期數(shù)列，分組求和． 4. 【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試題】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且與的等比中項(xiàng)為2，則的最小值等于 ． 5. 【上海市長(zhǎng)寧區(qū)2013—2014第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）】數(shù)列滿足，則 . 6. 【上海市浦東新區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷（理卷）】已知函數(shù)則 （ ） (A) 2010 (B) 2011 (C) 2012 (D) 2

8、013 7. 【上海市普陀區(qū)2014屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】數(shù)列中，若，（），則 . 8. 【上海市普陀區(qū)2014屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（），則 . 【答案】1006 【解析】 試題分析：組成本題數(shù)列的通項(xiàng)公式中，有式子，它是呈周期性的，周期為4，因此在求和時(shí)，想象應(yīng)該分組，依次4個(gè)為一組，，， ，最后還剩下，，所以． 考點(diǎn)：分組求和． 9. 【2013學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理）考試試卷】若數(shù)列滿足：，則前6項(xiàng)的和 .（用數(shù)字作答） 10. 【上海市十三校2013年高三

9、調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】等差數(shù)列中，，記，則當(dāng)____時(shí)， 取得最大值. 11. 【上海市十三校2013年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】已知函數(shù)，記，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________. 12. 【上海市十三校2013年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】已知無(wú)窮數(shù)列具有如下性質(zhì):①為正整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.在數(shù)列中，若當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（，），則首項(xiàng)可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為 （用表示） 三．拔高題組 1. 【虹口區(qū)2013學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測(cè)試題】數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，且，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求

10、數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】(1) ；（2）；（3）． 【解析】 2.【上海市普陀區(qū)2014屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列中，，，. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上. （2）假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為，，（，），由題意得，， 將，，代入上式得……7分 ………………8分 化簡(jiǎn)得，，即，得，解得 所以，存在滿足條件的連

11、續(xù)三項(xiàng)為，，成等比數(shù)列?！?0分 3. 【上海市十三校2013年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷（理科）】已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中、、是常數(shù). （1）若，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，，，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （3）試探究、、滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列. 【答案】（1）；（2）；（3），或或，． （3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 4. 【2013學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）】稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”： ①；②. （1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項(xiàng)公式； （2）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待

12、數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為： （i）求證：； （ii）若存在使，試問(wèn)數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）．或； （2）； （3）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）不能，證明見(jiàn)解析． 試題解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分 若，則由①=0，得，-------------3分 由②得或． 所以，．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是 或------------------------------------4分 記數(shù)列的前項(xiàng)和為， 則由（i）知，， ，而，

13、 ，從而，， 又， 則，-------------------------16分 ， 與不能同時(shí)成立， 所以，對(duì)于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列的和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”． ----------------------18分 考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的前和公式與通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列的前和公式與通項(xiàng)公式；（3）數(shù)列綜合題． 5. 【上海市黃浦區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末考試（即一模）數(shù)學(xué)（理）試題】已知數(shù)列，滿足，， （1）已知，求數(shù)列所滿足的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （3）己知，設(shè)＝，常數(shù),若數(shù)列是等差數(shù)列，記，求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析

14、】 試題分析：（1）這屬于數(shù)列的綜合問(wèn)題，我們只能從已知條件出發(fā)進(jìn)行推理，以向結(jié)論靠攏，由已知可得，從而當(dāng)時(shí)有結(jié)論 ，很幸運(yùn)，此式左邊正好是，則此我們得到了數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，那么為了求，可以采取累加的方法（也可引進(jìn)新數(shù)列）求得，注意這里有，對(duì)要另外求得；（2）有了第（1）小題，那么求就方便多了，因?yàn)?，這里不再累贅不；（3）在（2）基礎(chǔ)上有，我們只有求出才能求出，這里可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，其通項(xiàng)公式為的一次函數(shù)（當(dāng)然也可用等差數(shù)列的定義）求出，從而得到，那么和的求法大家應(yīng)該知道是乘公比錯(cuò)位相減法，借助已知極限可求出極限. ∴. （說(shuō)明：這里也可利用，依據(jù)遞推，得 　　　?。? 6

15、. 【上海市長(zhǎng)寧區(qū)2013—2014第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）】由函數(shù)確定數(shù)列，.若函數(shù)能確定數(shù)列，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”. （1）若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為，求； （2）對(duì)（1）中的，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)（為正整數(shù)），若數(shù)列的反數(shù)列為，與的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為（公共項(xiàng)為正整數(shù)），求數(shù)列的前項(xiàng)和. （3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，. …………11分 由，則， 即，因此， …………13分 所以 ………

16、…14分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，. …………15分 由得，即，因此， …………17分 所以 …………18分 考點(diǎn)：（1）反函數(shù)；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）分類討論，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和． 7. 【上海市嘉定區(qū)2014屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理）試卷】數(shù)列的首項(xiàng)為（），前項(xiàng)和為，且（）．設(shè)，（）． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，試求三個(gè)正數(shù)，，的一組值，使得為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列． ，可分類（）分

17、別求出的范圍，最后取其交集即得；（3）考查同學(xué)們的計(jì)算能力，方法是一步步求出結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，， ，最后用分組求和法求出， 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征一定有，再加上三個(gè)正數(shù)，，成等差數(shù)列，可求出，，，這里考的就是計(jì)算，小心計(jì)算． （3）當(dāng)時(shí)，，， 8. 【上海市浦東新區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷（理卷）】設(shè)項(xiàng)數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項(xiàng)的和分別為、、. 已知集合=. （1）已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，試研究和時(shí)是否存在符合條件的數(shù)列對(duì)（，），并說(shuō)明理由； （3）若，對(duì)于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對(duì)（，）有偶數(shù)對(duì). 【答案】（1）；（

18、2）時(shí)，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時(shí)，數(shù)列對(duì)（，）不存在.（3）證明見(jiàn)解析． 【解析】 6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16, 10,8,14；12,6,2,4 …………………8分 當(dāng)時(shí)， 此時(shí)不存在. 故數(shù)列對(duì)（，）不存在. ………………………………10分 另證： 當(dāng)時(shí)， 9. 【2013學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)（理）考試試卷】已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，. （1）若為偶數(shù)，且成等差

19、數(shù)列，求的值； （2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：； （3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有. 故對(duì)于給定的，的最大值為 ，所以． （6分） 10. 【上海市楊浦區(qū)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意都有成立， (其中、、是常數(shù)) ． （1）當(dāng)，，時(shí)，求； （2）當(dāng)，，時(shí)， ①若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ②設(shè)數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“數(shù)列”. 如果，試問(wèn)：是否存在數(shù)列為“數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有 ，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所 有取值構(gòu)成的集合；若不存在，說(shuō)明理由． （2）當(dāng)，，時(shí)， ， ③ 用去代得，， ④ 又，∴或或或 …….17分 所以，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為 …… 18分 （其他解法,可根據(jù)【解】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分） 考點(diǎn)：(1)已知與的關(guān)系，求和；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和. - 35 -