任意角三角函數的概念

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1、任意角三角函數的概念任意角三角函數的概念任意角三角函數涉及內容分類解讀任意角三角函數涉及內容分類解讀任意角三角函數的概念是本章的基礎，主要包括兩個方面：任意角三角函數的概念是本章的基礎，主要包括兩個方面：(1)(1)任意角和弧度制任意角和弧度制. .理解任意角的概念及弧度的意義，能正理解任意角的概念及弧度的意義，能正確進行弧度與角度的換算確進行弧度與角度的換算. .(2)(2)任意角的三角函數任意角的三角函數. .掌握任意角的正弦、余弦、正切函數掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義及三角函數線，能夠判斷三角函數值在各象限的符號的定義及三角函數線，能夠判斷三角函數值在各象限的符號. .【例例1

2、 1】已知角已知角的終邊與單位圓交于點的終邊與單位圓交于點P P( () )，則，則sin(+k)(kZ)sin(+k)(kZ)的值是多少？的值是多少？【審題指導審題指導】結合三角函數的定義，利用誘導公式，對結合三角函數的定義，利用誘導公式，對k k進行進行分類討論，求得結果分類討論，求得結果. .13,22【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)當當k k為奇數時，為奇數時，（2 2）當）當k k為偶數時為偶數時33sinksin();22 3sinksin2 ，同角三角函數的基本關系和誘導公式同角三角函數的基本關系和誘導公式三角函數基本關系和誘導公式聯袂解題三角函數基本關系和誘導公式聯袂解題(1)

3、(1)誘導公式屬異角三角函數間的基本關系式，它與同角三角誘導公式屬異角三角函數間的基本關系式，它與同角三角函數的基本關系式協(xié)同作戰(zhàn)，能量無窮，近幾年的高考命題函數的基本關系式協(xié)同作戰(zhàn)，能量無窮，近幾年的高考命題中，主要考查利用公式進行恒等變形的技能以及基本運算能中，主要考查利用公式進行恒等變形的技能以及基本運算能力，特別突出推理、計算的考查力，特別突出推理、計算的考查. .(2)(2)在解決本類具體問題時常用到數形結合思想、分類討論思在解決本類具體問題時常用到數形結合思想、分類討論思想、轉化思想以及函數與方程的思想想、轉化思想以及函數與方程的思想. .【例例2 2】(2011(2011鄭州高一

4、檢測鄭州高一檢測) )已知已知tan=2tan=2，sin+cos0.sin+cos0tan=20，為第一象限角或第三象限角為第一象限角或第三象限角. .又又sin+cos0sin+cos0,0)(A0,0)的解析的解析式時，常用的解題方法是待定系數法式時，常用的解題方法是待定系數法. .3, ,2 .22，【例例3 3】如圖如圖, ,是函數是函數y=Asin(x+y=Asin(x+ ) )+k(A+k(A0,0,0)0)的一段圖象的一段圖象. .（1 1）求此函數解析式）求此函數解析式. .（2 2）分析一下該函數是如何通過）分析一下該函數是如何通過y=sinxy=sinx變換得來的變換得來

5、的? ?【審題指導審題指導】本題關鍵是觀察圖象，由圖象得出本題關鍵是觀察圖象，由圖象得出A A、k k、 的值，進而得到函數解析式，對于第（的值，進而得到函數解析式，對于第（2 2）問可借助平移的知問可借助平移的知識解決識解決. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）由圖象知）由圖象知當當 時時, , 所求函數解析式為所求函數解析式為13()122A,22 13()222k1,T2 (),236 212.ysin 2x1.T2 x62,.626 1ysin(2x) 1.26（2 2）把）把y=sinxy=sinx向左平移向左平移 個單位，得到個單位，得到然后縱坐標保持不變、橫坐標縮短為原來的然后縱坐

6、標保持不變、橫坐標縮短為原來的 ，得到，得到 再橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼脑贆M坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?得到得到最后把函數最后把函數 的圖象向下平移的圖象向下平移1 1個單位，得到個單位，得到 的圖象的圖象. .6ysin(x),612ysin(2x)6，121ysin(2x),261ysin(2x)261ysin(2x) 126三角函數的性質三角函數的性質三角函數性質地位解讀三角函數性質地位解讀三角函數作為中學階段學習的基本初等函數之一，其性質是三角函數作為中學階段學習的基本初等函數之一，其性質是高考的必考內容之一，在考查時，往往和后面的三角函數知高考的必考內容之一，在考查時，往

7、往和后面的三角函數知識相聯系，著重考查三角函數的定義域、值域、周期性、單識相聯系，著重考查三角函數的定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等有關性質調性、奇偶性、對稱性等有關性質. .【例例4 4】(2011(2011臺州高一檢測臺州高一檢測) )函數函數的圖象的圖象為為C C，則如下結論中正確的序號是，則如下結論中正確的序號是_. .圖象圖象C C關于直線關于直線 對稱；對稱； 圖象圖象C C關于點關于點( ( ) )對稱；對稱； 函數函數f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間( ( ) )內是增函數；內是增函數； 由由y=3sin2xy=3sin2x的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位長度可以

8、得到圖象個單位長度可以得到圖象C.C. f x3sin(2x)311x12203，512 12，3【審題指導審題指導】此類問題綜合考查三角函數的性質，由圖象研此類問題綜合考查三角函數的性質，由圖象研究函數性質是解決此類問題的常用方法究函數性質是解決此類問題的常用方法. .解題中要注意數形結解題中要注意數形結合的思想和整體代換的思想合的思想和整體代換的思想. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】直線直線 為函數圖象的對稱軸，故正確；為函數圖象的對稱軸，故正確；由于由于故圖象故圖象C C關于點關于點( ( ) )對稱，故正確；對稱，故正確；1111f()3sin()126333sin32 ，11x1222f()

9、3sin(2)3sin0333 ，2,03由由 由于正弦函數在由于正弦函數在( ( ) )內單調遞增，內單調遞增，故函數故函數f(x)f(x)在在( ( ) )內單調遞增，故正確；內單調遞增，故正確； 由由y=3sin2xy=3sin2x的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位個單位長度得到函數長度得到函數 得不到圖象得不到圖象C C，故錯誤，故錯誤. .答案答案: :5x2x1212232 ，,2 2 5,12 12 f x3sin2(x)6，3 f x3sin2(x)3，1.1.點點P P（tantan，coscos）位于第二象限，則角）位于第二象限，則角所在象限是所在象限是( )( )（A

10、A）第一象限）第一象限 （B B）第二象限）第二象限 （C C）第三象限）第三象限 （D D）第四象限）第四象限【解析解析】選選C.C.由題意可知，由題意可知，tan0tan0cos0，角角是第四象限角是第四象限角. .2.(20112.(2011嘉興高一檢測嘉興高一檢測) )下列關于函數下列關于函數y=4cosxy=4cosx，xx-，的單調性的敘述正確的是的單調性的敘述正確的是( )( )(A)(A)在在 上是增函數，在上是增函數，在 及及 ，上是上是減函數減函數(B)(B)在在-，0 0上是增函數，在上是增函數，在0,0,上是減函數上是減函數(C)(C)在在0 0，上是增函數，在上是增函

11、數，在-,0-,0上是減函數上是減函數(D)(D)在在 及及 上是增函數，在上是增函數，在 上是上是減函數減函數2 2 ,2 ,2 ,22 2 ,2【解析解析】選選B.B.由函數由函數y=4cosxy=4cosx的圖象可知，此函數在的圖象可知，此函數在-，0 0上是增函數，在上是增函數，在0 0，上是減函數上是減函數. .3.3.若若cos+2sin=cos+2sin= 則則tan=( )tan=( )【解析解析】選選B.B.將將 兩邊平方，兩邊平方，得得coscos2 2+4sincos+4sin+4sincos+4sin2 2=5=5，即有即有從而從而tan=2.tan=2.5, 11AB

12、 2CD222cos2sin5 2222cos4sin cos4sin5sincos，2214tan4tan5tan1，4.4.函數函數 在區(qū)間在區(qū)間 上的值域為上的值域為( )( )(A)(A)1-1- ,1+,1+ (B) (B) 1-1- ，3 3(C)(C)-1-1，3 3 (D)(D)-1-1，1+1+ 【解析解析】選選B. B. y2cos(2x)134 4 ,33335x2x44636，132cos(2x)13.3 5.5.函數函數 的定義域是的定義域是_. .【解析解析】結合三角函數圖象或單位圓中的三角函數線，結合三角函數圖象或單位圓中的三角函數線，由由 得得2kx2k+2kx

13、2k+ ，kZ.kZ.答案答案: :2k2k，2k+2k+ ，(kZ)(kZ)1ysinxcosx2sinx01cosx02336.(20116.(2011紅河高一檢測紅河高一檢測) )化簡化簡【解析解析】原式原式= =222cos4cossin3sin4sin 5cos () 222cos cossincos .sin sin cos 7.(20117.(2011日照高一檢測日照高一檢測) )求函數求函數 的定義域和單調的定義域和單調區(qū)間區(qū)間. .【解析解析】由由 得得所以函數的定義域是所以函數的定義域是x|x2k+x|x2k+ ，kZkZ由由得得所以函數的單調增區(qū)間是所以函數的單調增區(qū)間是

14、xytan()23xk232 5x2k3，53xkk2232 52kx2k33 5(2k2k )kZ.33，8.(20118.(2011牡丹江高一檢測牡丹江高一檢測) )已知函數已知函數（1 1）用）用“五點法五點法”畫出長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；畫出長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；（2 2）寫出函數的振幅和最小正周期及單調區(qū)間）寫出函數的振幅和最小正周期及單調區(qū)間. . y2sin(2x)4，【解析解析】（1 1）列表，描點，連線如下：）列表，描點，連線如下： （2 2）振幅是）振幅是2 2，最小正周期為，最小正周期為，單調遞增區(qū)間是單調遞增區(qū)間是單調遞減區(qū)間是單調遞減區(qū)間是其中其中k

15、Z.kZ.3k,k88，37kk88，9.9.已知函數已知函數（1 1）求函數的最小正周期和單調增區(qū)間）求函數的最小正周期和單調增區(qū)間; ;（2 2）函數的圖象可以由函數）函數的圖象可以由函數y=cosxy=cosx的圖象經過怎樣的變換得的圖象經過怎樣的變換得到？到？ f x12cos(2x).4 【解析解析】(1)(1)函數函數f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為.函數函數 單調區(qū)間與函數單調區(qū)間與函數相同，相同，即即 所求函數的單調增區(qū)間是所求函數的單調增區(qū)間是 f x12cos(2x)4 f x2cos(2x)42k2x2kkZ4 ，3kxkkZ88 ，3kkkZ .88，（）(2)(2)將將y=cosxy=cosx的圖象先向右平移的圖象先向右平移 個單位長度，再把橫坐標縮個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的短為原來的 （縱坐標不變），然后縱坐標伸長為原來的（縱坐標不變），然后縱坐標伸長為原來的 倍倍（橫坐標不變），最后向上平移（橫坐標不變），最后向上平移1 1個單位長度，可得個單位長度，可得 的圖象的圖象. . 4122 f x12cos(2x)4