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1、 2011-2012年度高三復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測一
數(shù)學(xué)（理科答案）
一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1-5 CCBDD 6-10 CABBB 11-12 AA
二、 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13． 14． 0.254 15． 18 16．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)
解：（Ⅰ）依
2、題意……………………2分
解得
.………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為9的等比數(shù)列，……………7分
數(shù)列的前項(xiàng)的和.………………10分
18. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得
①
在中，由余弦定理及整理得
②………2分
由①②得：
整理可得 ，……………4分
又為三角形的內(nèi)角，所以,
又,,所以是等邊三角形，
故，即A、B兩點(diǎn)的距離為14.……………6分
（Ⅱ）小李的設(shè)計(jì)符合要求.
理由如下：
因?yàn)椤?0分
3、
所以
由已知建造費(fèi)用與用地面積成正比，故選擇建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低。
即小李的設(shè)計(jì)符合要求.…………12分
19．(本小題滿分12分)
解:（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，…………3分
由于，
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系.
……………6分
（Ⅱ）專業(yè)A中女生12人，男生38人
;;
所以X的分布列為：
X
0
1
2
P
……………10分
均值為：
.………………12分
20. (本小題滿分12分)
（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)FC，MF．
∵,.
∴四邊形為平行四邊形，……………3分
4、∴，又平面,……………………5分
∴MN∥平面PCD.
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=2，則B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，
設(shè)PC上一點(diǎn)E坐標(biāo)為，，
即，
則．………………7分
由,解得．
∴.………………9分
作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC,取為平面PBC的法向量．則，
∴設(shè)AE與平面PBC所成角為，,的夾角為，則
.………………12分
21. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）由題意可得，……………2分
解得，
所以橢圓的方程為
5、 .………………4分
（Ⅱ）設(shè)，由 ，
拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為 ,
所以的方程為 ,……………5分
代入橢圓方程得 ,
化簡得
又與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故
①
設(shè)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則
, …………………8分
設(shè)線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,
由已知得即 ， ②………………10分
顯然, ③
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，此時(shí)不符合①式，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，此時(shí)，滿足①式。
綜上，的最小值為1.………………12分
22. (本小題滿分12分)
解：.
（Ⅰ） . ……………2分
6、
，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. …………4分
（Ⅱ）先求在的最大值.
由（Ⅰ）可知，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故.………………6分
由可知，，，
所以，，，
故不存在符合條件的，使得. ………………8分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
只需證明，都成立，
也可得證命題成立．………………10分
設(shè)，，
在上是減函數(shù)，
設(shè)，
在上是增函數(shù)，
綜上述命題成立. ………………12分
另解:
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
， ，
，，.………10分
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有
對任意，
．…………12分
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