【導(dǎo)學(xué)教程】屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五第一講綜合驗(yàn)收評(píng)估試題 理 北師大版

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1、 一、選擇題 1．(2011東莞模擬)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是 A．x－2y－1＝0　　　　　　　 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析　所求直線的斜率等于，故所求直線方程為y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故選A. 答案　A 2．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊依次為a，b，c，且2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C，則兩條直線l1：xsin2A＋ysin A＝a與l2：xsin2B＋ysin C＝c的位置關(guān)系是 A．平行 B．重合 C．垂直

2、 D．相交不垂直 解析　已知2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C， 可得sin2B＝sin Asin C，故＝， 又＝，所以兩直線重合，故選B. 答案　B 3．(2011廣東)已知集合A＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實(shí)數(shù)，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 解析　集合A表示圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合B表示直線y＝x上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，可判定直線和圓相交，故A∩B的元素個(gè)數(shù)為2. 答案　C 4．以雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為

3、圓心，且與漸近線相切的圓的方程是 A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0 C．x2＋y2＋10x＋16＝0 D．x2＋y2＋10x＋9＝0 解析　據(jù)題意知圓心為(5,0)， 雙曲線的漸近線是4x3y＝0， ∴r＝4，故所求圓的方程是(x－5)2＋y2＝16， 即x2＋y2－10x＋9＝0. 答案　A 5．(2011海淀模擬)圓x2＋y2＝50與圓x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦長(zhǎng)為 A. B. C．2 D．2 解析　x2＋y2＝50與x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得兩圓

4、公共弦所在的直線方程為2x＋y－15＝0，圓x2＋y2＝50的圓心(0,0)到2x＋y－15＝0的距離d＝3，因此，公共弦長(zhǎng)為2＝2. 答案　C 6．(2011珠海模擬)已知直線l：y＝－1，定點(diǎn)F(0,1)，P是直線x－y＋＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、P的圓與l相切，則這個(gè)圓面積的最小值為 A. B．π C．3π D．4π 解析　由于圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、P且與直線y＝－1相切，所以圓心到點(diǎn)F、P與到直線y＝－1的距離相等．由拋物線的定義知圓心C在以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線x2＝4y上，圓與直線x－y＋＝0的交點(diǎn)為點(diǎn)P.顯然，圓心為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，半徑最

5、小，為1，此時(shí)圓面積最小，為π.故選B. 答案　B 二、填空題 7．若直線l1：ax＋2y＋6＝0與直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　由得a＝－1. 答案　－1 8．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是________． 解析　由題知，圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，直線AB的方程為x－y＋2＝0.因?yàn)閳A心到直線AB的距離為d＝，所以圓周上的點(diǎn)到直線AB的最小距離為－1.又AB＝2，所以△ABC面積的最小值是2＝3－. 答案　3－ 9．若直線l：2x＋y

6、＋3＝0與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析　圓心C(1，－2)到直線l的距離為d＝＝， 則|AB|＝2 ＝. 答案　 三、解答題 10．設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,4)，圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝4. (1)若直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心，求直線l的斜率； (2)若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍． 解析　(1)由已知得直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P(3,4)， 而圓C的圓心是C(1，－1)， 所以，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí)， 直線l的斜率為k＝. (2)由題意，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x－3)，

7、即kx－y＋4－3k＝0. 又直線l與圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， 所以圓心到直線的距離小于圓的半徑， 即＜2. 解得k＞. 所以直線l的斜率的取值范圍為. 11．(2011課標(biāo)全國(guó)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值． 解析　(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)， 與x軸的交點(diǎn)為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

8、則圓C的半徑為＝3. 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組 消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2＞0. 因此x1,2＝， 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1. 12．已知圓M的方程為x2＋(y－2)2＝1，直線l的方程為x－2y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)點(diǎn)P作

9、圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B. (1)若∠APB＝60，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD＝時(shí)，求直線CD的方程； (3)求證：經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析　(1)設(shè)P(2m，m)，由題可知MP＝2， 所以(2m)2＋(m－2)2＝4， 解之得m＝0或m＝. 故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,0)或P. (2)由題意易知k存在，設(shè)直線CD的方程為y－1＝k(x－2)， 由題知圓心M到直線CD的距離為， 所以＝，解得，k＝－1或k＝－， 故所求直線CD的方程為x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0. (3)證明　設(shè)P(2m，m)，MP的中點(diǎn)Q，因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為(x－m)2＋2＝m2＋2. 化簡(jiǎn)得：x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是關(guān)于m的恒等式， 故解得或 所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)(0,2)或(1,0)． - 4 -