2014-2015學年高中數(shù)學(蘇教版選修2-1) 第3章 空間向量與立體幾何 第3章章末總結(jié) 課時作業(yè)

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1、 章末總結(jié) 知識點一 空間向量的計算 空間向量及其運算的知識與方法與平面向量及其運算類似,是平面向量的拓展,主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運算,是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ). 例1 沿著正四面體O-ABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個力f1,f2,f3.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱夾角的余弦值. 知識點二 證明平行、垂直關(guān)系 空間圖形中的平行、垂直問題是立體幾何當中最重要的問題之一,利用空間向量證明平行和垂直問題,主要是運用直線的方向向量和平面的法向量,借助空間中已有

2、的一些關(guān)于平行和垂直的定理,再通過向量運算來解決. 例2  - 1 - / 8 如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別為AB、B1C的中點. (1)用向量法證明平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法證明MN⊥面A1BD. 例3  如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,P是側(cè)棱CC1上的一點,CP=m. 試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成的角為60. 例4 正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是BB1

3、、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FD1. 知識點三 空間向量與空間角 求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角,一般有兩種方法:即幾何法和向量法,幾何法求角時,需要先作出(或證出)所求空間角的平面角,費時費力,難度很大.而利用向量法,只需求出直線的方向向量與平面的法向量.即可求解,體現(xiàn)了向量法極大的優(yōu)越性. 例5  如圖所示,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN. (1)求cos〈,〉; (2)求直線AD與平

4、面ANM所成角的余弦值; (3)求平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值. 知識點四 空間向量與空間距離 近年來,對距離的考查主要體現(xiàn)在兩點間的距離和點到平面的距離,兩點間的距離可以直接代入向量模的公式求解,點面距可以借助直線的方向向量與平面的法向量求解,或者利用等積求高的方法求解. 例6  如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分別是AB、PC的中點. (1)求二面角P—CD—B的大??; (2)求證:平面MND⊥平面PCD; (3)求點P到平面MND的距離. 章末總結(jié) 重點解

5、讀 例1 解  如圖所示,用a,b,c分別代表棱、、上的三個單位向量, 則f1=a,f2=2b,f3=3c, 則f=f1+f2+f3 =a+2b+3c, ∴|f|2=(a+2b+3c)(a+2b+3c) =|a|2+4|b|2+9|c|2+4ab+6ac+12bc =14+4cos 60+6cos 60+12 cos 60 =14+2+3+6=25, ∴|f|=5,即所求合力的大小為5. 且cos〈f,a〉== ==, 同理可得:cos〈f,b〉=,cos〈f,c〉=. 例2 證明 (1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中, =-,=-, 又∵=,=,

6、∴=.∴BD∥B1D1. 同理可證A1B∥D1C, 又BD∩A1B=B,B1D1∩D1C=D1, 所以平面A1BD∥平面B1CD1. (2)=++ =++(+) =++(-+) =++. 設(shè)=a,=b,=c, 則=(a+b+c). 又=-=b-a, ∴=(a+b+c)(b-a) =(b2-a2+cb-ca). 又∵A1A⊥AD,A1A⊥AB, ∴cb=0,ca=0. 又|b|=|a|,∴b2=a2,∴b2-a2=0. ∴=0,∴MN⊥BD. 同理可證,MN⊥A1B,又A1B∩BD=B, ∴MN⊥平面A1BD. 例3  解 建立如圖所示的空間直

7、角坐標系,則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m), C(0,1,0),D(0,0,0), B1(1,1,1),D1(0,0,1). 則=(-1,-1,0), =(0,0,1), =(-1,1,m), =(-1,1,0). 又由=0,=0知,為平面BB1D1D的一個法向量. 設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為θ, 則sin θ=|cos〈,〉|= =. 依題意得=sin 60=, 解得m=. 故當m=時,直線AP與平面BDD1B1所成角為60. 例4 證明  如圖,建立空間直角坐標系D—xyz. 設(shè)正方體棱長為1, 則E、D1(0,0

8、,1)、 F、A(1,0,0). ∴=(1,0,0)=,=, =. 設(shè)m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分別是平面AED和A1FD1的一個法向量. 由. 令y1=1,得m=(0,1,-2). 又由, 令z2=1,得n=(0,2,1). ∵mn=(0,1,-2)(0,2,1)=0, ∴m⊥n,故平面AED⊥平面A1FD1. 例5 解 (1)建立空間直角坐標系(如圖).則A(0,0,0),A1(0,0,4),D(0,8,0),M(5,2,4). ∴=(5,2,4), =(0,8,-4). ∴=0+16-16=0, ∴⊥. ∴cos〈,〉=0.

9、 (2)∵A1D⊥AM,A1D⊥AN,且AM∩AN=A, ∴⊥平面ANM, ∴=(0,8,-4)是平面ANM的一個法向量. 又=(0,8,0),||=4,||=8,=64, ∴cos〈,〉===. ∴AD與平面ANM所成角的余弦值為. (3)∵平面ANM的法向量是=(0,8,-4), 平面ABCD的法向量是a=(0,0,1), ∴cos〈,a〉==-. ∴平面ANM與平面ABCD所成角的余弦值為. 例6 (1)解 ∵PA⊥平面ABCD, 由ABCD是正方形知AD⊥CD. ∴CD⊥面PAD,∴PD⊥CD. ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角. ∵PA=A

10、D,∴∠PDA=45, 即二面角P—CD—B的大小為45. (2) 如圖,建立空間直角坐標系, 則P(0,0,2),D(0,2,0), C(2,2,0),M(1,0,0), ∵N是PC的中點, ∴N(1,1,1), ∴=(0,1,1), =(-1,1,-1), =(0,2,-2). 設(shè)平面MND的一個法向量為m=(x1,y1,z1),平面PCD的一個法向量為n=(x2,y2,z2). ∴m=0,m=0, 即有令z1=1, 得x1=-2,y1=-1.∴m=(-2,-1,1). 同理,由n=0,n=0, 即有 令z2=1,得x2=0,y2=1,∴n=(0,1,1). ∵mn=-20+(-1)1+11=0, ∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD. (3)設(shè)P到平面MND的距離為d. 由(2)知平面MND的法向量m=(-2,-1,1), ∵m=(0,2,-2)(-2,-1,1)=-4, ∴|m|=4, 又|m|==, ∴d===. 即點P到平面MND的距離為. 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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