《綜合法和分析法》(上課用)

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1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修 2-2 第二章第二章 推理與證明推理與證明2021-10-12孝高 蔣志方12.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程重要思維過程. .數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn), ,主要靠合情推主要靠合情推理理. .復(fù)習(xí)推推 理理合情推理合情推理演繹推理演繹推理歸納歸納(特殊到一般）特殊到一般）類比類比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段論三段論（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的結(jié)論是不可靠的，需要證明。

2、數(shù)學(xué)中證明的方法有哪些呢？間接證明（反證法）分析法綜合法直接證明證明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因為因為b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因為又因為c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :在數(shù)

3、學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過推理導(dǎo)出所要的結(jié)論。理導(dǎo)出所要的結(jié)論。.綜合法綜合法由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麖拿}的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證算法則，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立明的結(jié)論成立. (又稱順推證法又稱順推證法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知條件表示已知條件, ,已有的定義已有的定義, ,定理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明

4、的結(jié)論, ,則綜合法可用框圖表示為則綜合法可用框圖表示為: :P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2探索求知探索求知例：求證不等式：例：求證不等式：.10578.注：從求證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的條件。證明：證明：要證要證,10578.)105()78(22即證即證.50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立.只需證只需證只需證只需證2.分析法分析法探索求知探索求知從證明的結(jié)論出發(fā)從證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直直至最后至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件件(已知

5、已知,定理定理,定義定義,公理等公理等).這種證明的方法叫做分析法這種證明的方法叫做分析法. （又稱倒推證法）（又稱倒推證法）執(zhí)果索因執(zhí)果索因 注：用注：用Q Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: :得到一個明顯成立的條件Q P1P1 P2P2 P3證法證法1 1: :對于正數(shù)對于正數(shù)a, ,b, , 有有202022ababababababab （）證法證法2 2: :要證要證只要證只要證只要證只要證只要證只要證2abab 2abab 02aabb20()ab 因為最后一個不等式成因為最后一個不等式成立，故結(jié)論成立。立，故結(jié)論成立。綜合法

6、綜合法分析法分析法表達簡潔表達簡潔!目的性強目的性強,易于探索易于探索!【分析法分析法】 從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件。個明顯成立的條件。要證：要證：只要證：只要證：只需證：只需證：顯然成立顯然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立要證：要證：所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立格格 式式 372 5練習(xí)： 求證372 5解解: :要證要證()()22372 5只需證只需證展開展開, ,只需證只需證215只需證只需證 21252125因為因為 2125212

7、5成立成立, ,所以所以 成成立立. .372 5例例3 3：在：在中，三個內(nèi)角、對中，三個內(nèi)角、對應(yīng)的邊分別為應(yīng)的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數(shù)列，差數(shù)列，a a、b b、c c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形分析：把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語分析：把題中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？由（由（2 2）聯(lián)想到三角形什么知識？余弦定理，）聯(lián)想到三角形什么知識？余弦定理，二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論二者聯(lián)系起來能得到什么結(jié)論證明：證明：

8、 由由A A，B B，C C成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有 2B=A+C 2B=A+C CBAABCCBA的內(nèi)角，所以為，因為由由，得，得3B由啊，由啊，a a，b b，c c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有acb 2由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得accaBaccab22222cos2再由再由，得，得0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c從而有從而有 A=CA=C由由，得，得3CBA.為等邊三角形所以 ABC2 22 22 22 22 2例例 . . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s =

9、= 2 2s si in n s si in n c co os s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )證證:例：例：1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述過程可用框圖表示上述過程可用框圖表示: :直接證明(回顧小結(jié))分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法尋求尋求思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地表述解題過程表述解題過程分析法分析法綜合法綜合法概念概念直接證明（綜合法和分析法）上述兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明證法證法1 1綜合法：由因?qū)Ч?，形式簡潔，易于表述綜合法：由因?qū)Ч问胶啙?，易于表?；相同不同不同 證法證法2 2分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證：