(全國通用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程課件 理 新人教B

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1、第第8節(jié)節(jié) 曲線與方程曲線與方程 最新考綱 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系;2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡單性質(zhì);3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. 1.曲線與方程的定義 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系: 知知 識識 梳梳 理理 這個(gè)方程的解 曲線上的點(diǎn) 那么,這 個(gè)方程 叫做_,這條曲線叫 做_. 2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 曲線的方程 方程的曲線 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.“曲線C是方程f(x,y)0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)0的解”的充分不必要條件.

2、 2.曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系: (1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)曲線方程的公共解,即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解; (2)方程組有幾組解,兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn);方程組無解,兩條曲線就沒有交點(diǎn). 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)f(x0,y0)0 是點(diǎn) P(x0,y0)在曲線 f(x,y)0 上的充要條件.( ) (2)方程 x2xyx 的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.( ) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的.( ) (4)方程 y x與 xy2表示同一曲線.( ) 診診 斷斷 自自 測測 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 對于(2),由方程得 x(xy1)0,即 x

3、0 或 xy10,所以方程表示兩條直線,錯(cuò)誤;對于(3),前者表示方程,后者表示曲線,錯(cuò)誤;對于(4),曲線 yx是曲線 xy2的一部分,錯(cuò)誤. 2.已知M(1,0),N(1,0),|PM|PN|2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( ) A.雙曲線 B.雙曲線左支 C.一條射線 D.雙曲線右支 解析 由于|PM|PN|MN|,所以D不正確,應(yīng)為以N為端點(diǎn),沿x軸正向的一條射線. 答案 C 答案 D 3.(2018 廣州調(diào)研)方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲線是( ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 解析 原方程可化為2x3y10,x30或 x310,即 2x3y1

4、0(x3)或 x4,故原方程表示的曲線是一條射線和一條直線. 4.已知A(2,0),B(1,0)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上,且滿足APOBPO,其中O為原點(diǎn),則P點(diǎn)的軌跡方程是( ) A.(x2)2y24(y0) B.(x1)2y21(y0) C.(x2)2y24(y0) D.(x1)2y21(y0) 答案 C 解析 由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|2|PB|,設(shè) P(x,y),則 (x2)2y22 (x1)2y2,整理得(x2)2y24(y0),故選 C. 解析 設(shè) MN 的中點(diǎn)為 P(x,y),則點(diǎn) M(x,2y)在橢圓上,x2a2(2y)2b21, 5.過橢圓x2a2y2b21(ab0)上任意

5、一點(diǎn) M 作 x 軸的垂線,垂足為 N,則線段 MN 中點(diǎn)的軌跡方程是_. 即x2a24y2b21(ab0). 答案 x2a24y2b21(ab0) 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程 【例1】 (1)(2018 豫北名校聯(lián)考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長|CD|3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_. (2)(2018 大同模擬)與y軸相切并與圓C:x2y26x0也外切的圓的圓心的軌跡方程為_. 答案 (1)(x10)2y236(y0) (2)y212x(x0)或y0(x0), 則半徑長為|x|, 因?yàn)閳A x2y26x0 的圓心為(3, 0), 所以 (x3)

6、2y2|x|3,則 y212x(x0),若動(dòng)圓在 y 軸左側(cè),則 y0,即圓心的軌跡方程為 y212x(x0)或 y0(x0). 規(guī)律方法 直接法求曲線方程的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵點(diǎn):直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯成代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性,通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這幾個(gè)步驟,但最后的證明可以省略. (2)注意點(diǎn):求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性. 答案 2xy20 【訓(xùn)練 1】 (2018 聊城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),A(1,0),B(2,2), 若點(diǎn) C 滿足OCOAt(OBOA), 其中 tR,

7、則點(diǎn) C 的軌跡方程是_. 解析 設(shè)C(x, y), 則由OCOAt(OBOA)得OCOAt(OBOA), 所以ACtAB,即(x1,y)t(1,2),故x1t,y2t,消去 t 得 y2(x1),即 2xy20. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 相關(guān)點(diǎn)相關(guān)點(diǎn)(代入代入)法求軌跡方程法求軌跡方程 【例 2】 (1)(2017 銀川模擬)動(dòng)點(diǎn) A 在圓 x2y21 上移動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn) B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_. (2)(2018 武威模擬)設(shè) F(1,0),M 點(diǎn)在 x 軸上,P 點(diǎn)在 y 軸上,且MN2MP,PMPF,當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn) N 的軌跡方程為_. 解析 (1)設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為

8、(x,y),則圓上的動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x3,2y),所以(2x3)2(2y)21,即x2y23x20. (2)設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), PMPF,PM(x0,y0),PF(1,y0), (x0,y0) (1,y0)0,x0y200, 答案 (1)x2y23x20 (2)y24x 由MN2MP,得(xx0,y)2(x0,y0), xx02x0,y2y0,即x0 x,y012y,xy240,即 y24x, 故點(diǎn) N 的軌跡方程為 y24x. 規(guī)律方法 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn):設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0). (2)求關(guān)系式:求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

9、之間的關(guān)系式x0f(x,y),y0g(x,y). (3)代換:將上述關(guān)系式代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程,便可得到所求被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 【訓(xùn)練 2】 已知 F1,F(xiàn)2分別為橢圓 C:x24y231 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) P 為橢圓 C上的動(dòng)點(diǎn),則PF1F2的重心 G 的軌跡方程為( ) A.x236y2271(y0) B.4x29y21(y0) C.9x243y21(y0) D.x24y231(y0) 答案 C 解析 依題意知 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè) P(x0,y0),G(x,y),則由三角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得xx0113,yy03,即 x03x,y03y,代入x204y2031, 得重心

10、G 的軌跡方程為9x243y21(y0). 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 定義法求軌跡方程定義法求軌跡方程(典例遷移典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程. 解 由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切, 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2. 由橢圓的定義可知, 曲線 C 是以 M, N 為左、 右焦點(diǎn),長半軸長為 2, 短半軸長為 3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方

11、程為 x24y231(x2). 【遷移探究1】 將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”,則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R,因?yàn)閳AP與圓M,N都外切,所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22,即|PN|PM|2,又|MN|2,所以點(diǎn)P的軌跡方程為y0(x2). 答案 y0(x2) 【遷移探究2】 把本例中圓M的方程換為:(x3)2y21,圓N的方程換為:(x3)2y21,則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由已知條件可知圓 M 和 N

12、 外離, 所以|PM|1R, |PN|R1, 故|PM|PN|(1R)(R1)21). 答案 x2y281(x1) 【遷移探究3】 在本例中,若動(dòng)圓P過圓N的圓心,并且與直線x1相切,則圓心P的軌跡方程為_. 解析 由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1,0)和定直線x1的距離相等,所以根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以N(1,0)為焦點(diǎn),以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線,故其方程為y24x. 答案 y24x 規(guī)律方法 定義法求曲線方程的兩種策略 (1)運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程. (2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解. 【訓(xùn)練3】 ABC的頂點(diǎn)A(5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_. 解析 如圖,|AD|AE|8,|BF|BE|2,|CD|CF|, 所以|CA|CB|826,|AB|10. 根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為6的雙曲線的右支, 方程為x29y2161(x3). 答案 x29y2161(x3)

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