（全國通用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線課件 理 新人教B

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1、第第7節(jié)節(jié) 拋物線拋物線 最新考綱 1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質. 1.拋物線的定義 (1)平面內與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離_的點的軌跡叫做拋物線.定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的_. (2)其數(shù)學表達式：M|MF|d(d為點M到準線l的距離). 知知 識識 梳梳 理理 相等 準線 2.拋物線的標準方程與幾何性質 圖形 標準方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 性質 頂點 O(0，0)

2、對稱軸 y0 x0 焦點 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 離心率 e1 準線 方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 x0，yR x0，yR y0， xR y0，xR 開口 方向 向右 向左 向上 向下 常用結論與微點提醒 1.通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦長等于 2p，通徑是過焦點最短的弦. 2.拋物線 y22px(p0)上一點 P(x0，y0)到焦點 Fp2，0 的距離|PF|x0p2，也稱為拋物線的焦半徑. 1.思考辨析(在括號內打“”或“”) (1)平面內與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲線

3、是焦點在 x 軸上的拋物線，且其焦點坐標是a4，0 ，準線方程是 xa4.( ) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.( ) (4)AB 為拋物線 y22px(p0)的過焦點 Fp2，0 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x2p24，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.( ) 診診 斷斷 自自 測測 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)當定點在定直線上時，軌跡為過定點 F 與定直線 l 垂直的一條直線，而非拋物線. (2)方程 yax2(a0)可化為 x21ay，是焦點在 y 軸上的拋物線，且其焦點坐標是0，14a，準線方程是 y14a. (3)拋

4、物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形. 2.以x1為準線的拋物線的標準方程為( ) A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x 答案 D 解析 由準線 x1 知，拋物線方程為：y22px(p0)且p21，p2， 拋物線的方程為 y24x. 3.(2018 黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點到直線xm的距離為4，則m的值為( ) A.5 B.3或5 C.2或6 D.6 解析 拋物線y24x的焦點為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4， m3或5，故選B. 答案 B 4.(教材習題改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點P(2，4)，則該拋物線

5、的標準方程為_. 解析 很明顯點P在第三象限，所以拋物線的焦點可能在x軸負半軸上或y軸負半軸上. 當焦點在x軸負半軸上時，設方程為y22px(p0)，把點P(2，4)的坐標代入得(4)22p(2)， 解得p4，此時拋物線的標準方程為y28x； 當焦點在 y 軸負半軸上時，設方程為 x22py(p0)，把點 P(2，4)的坐標代入得(2)22p(4)，解得 p12，此時拋物線的標準方程為 x2y. 綜上可知，拋物線的標準方程為 y28x 或 x2y. 答案 y28x或x2y 5.已知拋物線方程為y28x，若過點Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_. 解析 設直線l的

6、方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當k0時，顯然滿足題意；當k0時，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范圍是1，1. 答案 1，1 考點一考點一 拋物線的定拋物線的定義及應用義及應用 【例 1】 (1)已知 F 是拋物線 y2x 的焦點，A，B 是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段 AB 的中點 D 到 y 軸的距離為( ) A.34 B.1 C.54 D.74 (2)若拋物線 y22x 的焦點是 F，點 P 是拋物線上的動點，又有點 A(3，2)，則|PA|PF|取最小值時點 P 的坐標為_. 解

7、析 (1)因為拋物線 y2x 的準線方程為 x14.如圖所示，過點 A，B，D 分別作直線 x14的垂線，垂足分別為 G，E，M，因為|AF|BF|3，根據拋物線的定義， |AG|AF|， |BE|BF|， 所以|AG|BE|3， 所以|MD|BE|AG|232， 即線段 AB 的中點 D 到 y 軸的距離為321454. 答案 (1)C (2)(2，2) (2)將 x3 代入拋物線方程 y22x，得 y 6. 62，A 在拋物線內部，如圖.設拋物線上點 P 到準線 l：x12的距離為 d，由定義知|PA|PF|PA|d，當 PAl 時，|PA|d 最小，最小值為72，此時 P 點縱坐標為 2

8、，代入 y22x，得 x2，點 P 的坐標為(2，2). 規(guī)律方法 應用拋物線定義的兩個關鍵點 (1)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化. (2)注意靈活運用拋物線上一點 P(x0，y0)到焦點 F 的距離|PF|x0|p2或|PF|y0|p2. 【訓練1】 (1)動圓過點(1，0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_. (2)(2017 全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_. 解析 (1)設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x1的距離相等，根據拋物線的定義易

9、知動圓的圓心的軌跡方程為y24x. (2)如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P， PMOF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2. 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案 (1)y24x (2)6 點 M 為 FN 的中點，PMOF，|MP|12|FO|1. 考點二考點二 拋物線的標準方程及其性質拋物線的標準方程及其性質 【例 2】 (1)已知雙曲線 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線 C2：x22py(p0)的焦點到雙

10、曲線 C1的漸近線的距離為 2，則拋物線 C2的方程為( ) A.x28 33y B.x216 33y C.x28y D.x216y (2)(2016 全國卷)以拋物線 C 的頂點為圓心的圓交 C 于 A，B 兩點，交 C 的準線于 D，E 兩點.已知|AB|4 2，|DE|2 5，則 C 的焦點到準線的距離為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 (1)x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2， ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3. x22py(p0)的焦點坐標為0，p2，x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 y bax，即 y 3x.由題意得p21（ 3）22

11、，解得 p8.故 C2的方程為 x216y. 答案 (1)D (2)B (2)不妨設拋物線 C：y22px(p0)，圓的方程為 x2y2r2(r0)， |AB|4 2，|DE|2 5， 拋物線的準線方程為 xp2，不妨設 A4p，2 2 ，Dp2， 5 ， 點 A4p，2 2 ，Dp2， 5 在圓 x2y2r2上， 16p28p245，解得 p4(負值舍去)， 故 C 的焦點到準線的距離為 4. 規(guī)律方法 1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程. 2.在解決與拋

12、物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此. 【訓練2】 (1)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_. (2)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點.若|AF|3，則AOB的面積為_. (1)解析 設 A，B 在準線上的射影分別為 A1，B1， 由于|BC|2|BF|2|BB1|，則直線的斜率為 3， 故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4， 故p|AA1|CF|AC|12，即 p32

13、，從而拋物線的方程為 y23x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點 F 的坐標為(1，0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點 A 到準線 x1 的距離為 3，所以點 A 的橫坐標為 2，將 x2 代入 y24x 得 y28，由圖知點 A 的縱坐標為 y2 2，所以 A(2，2 2)，所以直線 AF 的方程為 y2 2(x1)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程y2 2（x1），y24x， 解得x12，y 2或x2，y2 2，由圖知 B12， 2 ， 所以 SAOB121|yAyB|3 22. 答案 (1)y23x (2)3 22 考點三考點三 直線與拋物線的位置關系直線與拋物線的位置關系(多維探究多維

14、探究) 命題角度命題角度 1 直線與拋物線的公共點直線與拋物線的公共點(交點交點)問題問題 【例 31】 (2016 全國卷)在直角坐標系 xOy 中，直線 l：yt(t0)交 y 軸于點M，交拋物線 C：y22px(p0)于點 P，M 關于點 P 的對稱點為 N，連接 ON 并延長交 C 于點 H. (1)求|OH|ON|； (2)除 H 以外，直線 MH 與 C 是否有其它公共點？說明理由. 解 (1)如圖，由已知得 M(0，t)，Pt22p，t ， 又 N 為 M 關于點 P 的對稱點，故 Nt2p，t ， 故直線 ON 的方程為 yptx， 將其代入 y22px 整理得 px22t2x

15、0， 解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t . 所以 N 為 OH 的中點，即|OH|ON|2. (2)直線 MH 與 C 除 H 以外沒有其它公共點，理由如下： 直線 MH 的方程為 ytp2tx，即 x2tp(yt). 代入 y22px 得 y24ty4t20， 解得 y1y22t， 即直線 MH 與 C 只有一個公共點， 所以除 H 以外，直線 MH 與 C 沒有其它公共點. 命題角度命題角度 2 與拋物線弦長與拋物線弦長(中點中點)有關的問題有關的問題 【例 32】 (2017 北京卷)已知拋物線 C：y22px 過點 P(1，1)，過點0，12作直線 l 與拋物線 C

16、交于不同的兩點 M，N，過點 M 作 x 軸的垂線分別與直線 OP，ON 交于點 A，B，其中 O 為原點. (1)求拋物線 C 的方程，并求其焦點坐標和準線方程； (2)求證：A 為線段 BM 的中點. (1)解 把 P(1，1)代入 y22px，得 p12， 所以拋物線 C 的方程為 y2x， 焦點坐標為14，0 ，準線方程為 x14. (2)證明 當直線 MN 斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線 MN(也就是直線 l)斜率存在且不為零. 由題意，設直線 l 的方程為 ykx12(k0)，l 與拋物線 C 的交點為 M(x1，y1)，N(x2，y2). 由

17、ykx12，y2x，消去 y 得 4k2x2(4k4)x10. 考慮 (4k4)244k216(12k)， 由題可知有兩交點，所以判別式大于零，所以 k12. 則 x1x21kk2，x1x214k2. 因為點 P 的坐標為(1，1)，所以直線 OP 的方程為 yx，點 A 的坐標為(x1，x1). 直線 ON 的方程為 yy2x2x，點 B 的坐標為x1，y2x1x2. 因為 y1y2x1x22x1y1x2y2x12x1x2x2kx112x2kx212x12x1x2x2 （2k2）x1x212（x2x1）x2 （2k2）14k21k2k2x20. 所以 y1y2x1x22x1.故 A 為線段

18、BM 的中點. 規(guī)律方法 1.直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系. 2.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式. 3.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解. 【訓練3】 (2017 全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的

19、最小值為( ) A.16 B.14 C.12 D.10 解析 拋物線 C：y24x 的焦點為 F(1，0)，由題意可知 l1，l2的斜率存在且不為 0.不妨設直線 l1的斜率為 k，則 l2直線的斜率為1k，故 l1：yk(x1)，l2：y1k(x1). 由y24x，yk（x1），消去 y 得 k2x2(2k24)xk20. 設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k224k2， 答案 A 由拋物線定義可知，|AB|x1x2244k2. 同理得|DE|44k2， |AB|DE|84k24k282 1616. 當且僅當1k2k2，即 k 1 時取等號. 故|AB|DE|的最小值為 16.