函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法及其應(yīng)用

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1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院08級(jí)蒙班 包艷玲20082115054 指導(dǎo)老師 蘇雅拉圖 摘 要：本文證明了常用的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別法，并通過(guò)例題給出了它的應(yīng)用 . 關(guān)鍵詞：一致收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，和函數(shù) . 下面我要給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的定義 JI 定義 設(shè)給定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 Uk(x)，如果它的部分和序列Sn(x)=7 Uk(X)在 k4 k」 區(qū)間I 一致收斂到和函數(shù)S(x);那么稱(chēng)級(jí)數(shù)二uk(x)在區(qū)間I 一致收斂到和函數(shù) k 4 S(x), qQ 即用；一 N語(yǔ)言來(lái)敘述，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a Uk(x)在區(qū)間I 一致收斂到S(x)，是指

2、對(duì) 任給的；? 0 ,存在于x無(wú)關(guān)的N，只要n ? N就有 Sn(X)— S(X)| =遲 U(X)— S(x) < B k=1 對(duì)一切X ? I —直成立. 例1證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)*在「舅一致收斂. k=1 n 證明已知7 xkJ k壬 1 -X Sn(X)八廠(chǎng) k -1 1 -x Sn(x)-S(x)匸 1 -x _ 2nj ln ； 則只要n ?N，就有 Sn (X) - S(X)「； X _42， 1 1 1 1 在「 1 1 定理1 (柯西原理) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二Uk(x)在I上一致收斂的充要條件是, kJ

3、 V >0, mN = N(g E N屮Wn A N,X/pE N^,及x^ I 都有 n P 工 Uk(X)= Sn*(X)—Sn(X)= Un 卑(X)+ UnH2(X)+…+Un4p(X)|vE， k 1 qQ 證明 必要性 已知＜；Uk(X)在區(qū)間I 一致收斂，設(shè)其和函數(shù)是S(x)，即 k4 & 1亠 Z Sn(X)—S(X)C?也有 &知&)-S(X)

4、 z 2 2 充分性 已知- ；0, TN 二叫廠(chǎng) N ., - n N, - p N .,及 - x I 有 n4p 二 Uk(x) k=a + =Sn4p(X)— Sn(X)< 名 證明有柯西原理；-X- 0要使不等式 證明有柯西原理；-X- 0要使不等式 qQ 從而"Uk(x)在區(qū)間I收斂，設(shè)其和函數(shù)是S(x)，因?yàn)閜是任意正整數(shù)，所以當(dāng) k生 P「：時(shí)，上述不等式有 Sn(X)- S(X)::； 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)「Uk(x)在區(qū)間I 一致收斂. k A 證明有柯西原理；-X- 0要使不等式 證明有柯西原理；-X- 0要使不

5、等式 00 xn 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(— nm n n勺 -汁在區(qū)間L 1,1的一致收斂性. 證明有柯西原理；-X- 0要使不等式 Sn p (X)_Sn(X)| = ( n 卑 n-2 n半 n-3 n4p n4p* X X 、 / X x 、 , X X 、 _ ) + ( _ ) +"" + ( — ) n+1 n+2 n + 2 n+3 n+p n +p + 1 xn 1 xn -p 1 n 1 n p 1 xn[ -+ xn亦 n 1 n p 1 1 1 2 < + < < z n 1 n p 1 n 1

6、 從一2 得到n .2-1，則取N = 2 -1 n 1 ,于是 - ；0, N *2 一1 N -n N,_p N .,及-x 1-1,1]有 n4p Z Uk(x) — Sn4p(X)- Sn (x) k出卑 < n 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)v (- n it n 定理2 (維爾斯特拉斯判別法，或稱(chēng) M判別法或稱(chēng)控制收斂判別法) n + x )在區(qū)間〔-1,1〕一致收斂. qQ 若對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 Uk(x)，存在Mk,(k=1,2，…)，使得 k 4 Uk(x) EMk，Vx^l，而正項(xiàng)數(shù)值級(jí)數(shù)瓦M(jìn)k收斂, k 二 qQ 則7 Uk(x)在區(qū)間

7、I I 一致收斂. k壬 QO 證明 X M k收斂，-；?0, N?N., - n?N, - p?N ,有 k =1 Mn1 Mn?2 Mn p ：：；，從而只要 n N,「p N .，有 Un 加(X)蘭 Un4t(X)+ U^X) + …+ 乞M n 1 * M n 2 * M n p ”： ；，* * I，由柯西原理知 Un 1(X) Un 2(X)… qQ 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)v uk(x)在區(qū)間I 一致收斂. k =1 qQ 例3證明瓦xk* k =1 在「瑋一致收斂. 證明因?yàn)? xk4 乞(2)k4,-x -鳥(niǎo)， 2 _ 2 2 Un卄(X) 旳1

8、 而三(廣收斂，由M判別法知 證明 -x三3,2^ ■ n三N有 匚xk-在區(qū)間 k 4 「鳥(niǎo)一致收斂. 證明 -x三3,2^ ■ n三N有 定理3 (狄利克雷判別法) qQ 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)V an(X)bn(X)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件: n 4 致收斂 1. 函數(shù)列(an(x)?對(duì)每一個(gè)X。? I是單調(diào)的，且n》：:時(shí)在

9、區(qū)間I 于0; 2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 bn(x)的部分和函數(shù)列、Bn(x)f在區(qū)間I 一致有界, n 4 qQ 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂. n z! 證明 已知函數(shù)列g(shù)n(x)1 —致收斂于0, 即 一；0, TN = N ； N , 一 n N, 一 x I，有 an 彳(x)：：；. qQ 又已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)" bn (x)的部分和函數(shù)列「Bn(X『在區(qū)間I 一致有界， n經(jīng) 即 -JM 0, - n N , - x I,有 Bn (x) _ M . 從而，有 bn 舟(X)+bn 七(X)+ …+0卄=|Bn4p(X)- Bn(X) 蘭

10、Bn4p(X)+|Bn(X)蘭 2M. 根據(jù)阿貝爾引理，-x?I，有 an + (x)bn4f(x)+and2(x)bnd2(x) + …+ a.命(x)bn4p(x)蘭2Man+(x).于是, - ；0, N N ?，-n N, -p N .,-x I,有 an i(x)bn i(x) an 2(x)bn 2(x)a. p(x)bn p(x) 一 2M ；,即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) □0 an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂. n 例4 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Sin^X在區(qū)間,2二(0 —：二)一致收斂 n 送 sin kx 7 1 n X 2sin kxsin — 2si

11、nJ 2 1 n 1 1 cos(k )x—cos(k )x 2sinXk— 2 2 2 1 / 1、 cos—x —cos(n 十—)x 2 2 1 1 < 、一M .1 .6 2 si n — sin 一 x sin — 2 2 2 DO 「1 j 知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E sinnx的部分和函數(shù)列在 畑 -5 ］一致有界，而數(shù)列單調(diào) n i in 丿 減少趨于0 (當(dāng)然在&2Z ］也是一致收斂于0),根據(jù)狄利克雷判別法，函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)I竺竺在區(qū)間卜.,2二「? I一致收斂. nr! n 定理4 (阿貝爾判別法) □0

12、 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a an(x)bn(x)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件： n 二 1.函數(shù)列^n(x/?對(duì)每一個(gè)X。? I是單調(diào)的，且在區(qū)間I 一致有界; Q0 2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)7 bn(x)在區(qū)間I 一致收斂, n A qQ 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)v an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂. n 二 證明 由條件知存在M?0.使得 an(x)乞 M , — x I, n =1,2,…. 由柯西原理知， - ；0, N N .,-n N,-p N .,有 n外 Z bk(x)

13、an 卅(x) +2 an p(x)) ：：3M ；,—x I. 用阿貝爾引理，有 qQ 再由柯西原理知7 an(x)bn(x)在區(qū)間I 一致收斂. n =1 qQ qQ 例5已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an(x)收斂，證明a an(x)xn在0,11 一致收斂. ng n -1 qQ 證明 已知"an(x)收斂，而對(duì)-X?0,1 ]，xn對(duì)n單調(diào)下降，且一致有界, n 4 xn E1,X/x€ bl] n = 1,2，…. 由阿貝爾判別法知an(x)xn在區(qū)間0,1 1 一致收斂. n =1 qQ 例6證明若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a anxn ( an是常數(shù))在x = r(?O)收

14、斂，則它在區(qū) n 4 間0,r 1 一致收斂. qQ 證明先把二anXn改寫(xiě)為 n 4 旳 x - n n n anX = " anr (). n t r qQ 已知級(jí)數(shù)「anrn收斂，從而它在區(qū)間0,r 1也是一致收斂，且函數(shù)列 n呂