課程設計（論文）基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設計

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1、基于巴特沃斯法數(shù)字IIR帶阻濾波器的設計 1、 數(shù)字帶阻IIR濾波器設計IIR數(shù)字濾波器在很多領域中有著廣闊的應用。與FIR數(shù)字濾波器相比,它可以用較低的階數(shù)獲得高選擇性,所用存儲單元少,經(jīng)濟而效率高,在相同門級規(guī)模和相同時鐘速度下可以提供更好的帶外衰減特性。下面介紹一種設計實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的方法。設計步驟如下：步驟1：將數(shù)字濾波器H(z)的技術指標p和s，通過tan(/2)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器G(s)的技術指標p和s，作歸一化處理后，得到p1，ss/p；步驟2：化解為模擬原型濾波器G(s)的技術指標；步驟3：設計模擬原型濾波器G(p)；步驟4：將G(p)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s)；步

2、驟5：將G(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)，s=(z1)(z+1)。所謂原型濾波器是指歸一化的低通濾波器。本節(jié)主要討論通過IIR數(shù)字濾波器的原型轉(zhuǎn)換設計法和IIR數(shù)字濾波器的直接設計方法來設計數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器其轉(zhuǎn)換方法主要有3種：一是直接由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器；二是先由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通或帶阻濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成相應的數(shù)字濾波器；三是將模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再通過變量代換變換成高通、帶通或帶阻濾波器。數(shù)字IIR濾波器的設計結(jié)構(gòu)如圖：模擬低通原型頻率變換模擬離散化IIR數(shù)字濾波器圖1、IIR濾波器的設計步驟2、帶阻濾

3、波器的設計規(guī)范： 本設計中分別用h(t)、H(s)、Ha(j)表示模擬濾波器的單位脈沖相應、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應函數(shù)，三者的關系如下：Ha(s) = LTha(t) =edtHa(j)=FTha(t) =edt可以用h(t)、H(s)、Ha(j)中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設計模擬濾波器時，設計指標一般由幅頻相應函數(shù)|Ha(j)|給出，而模擬濾波器設計就是根據(jù)設計指標，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。工程實際中通常用所謂的損耗函數(shù)即衰減函數(shù)A（）來描述濾波器的幅頻響應特性，對歸一化幅頻響應函數(shù)，A（）定義如下：A（）=-20lg|Ha(j)|=-10lg|Ha(j)

4、| dB模擬帶阻濾波器的設計指標參數(shù)有、。和分別表示帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率；和分別表示帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。1和2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度 圖2、帶阻濾波器帶阻濾波器的技術指標要求必須是幾何對稱的。如果帶阻濾波器不是幾何對稱的，為了使對稱的帶阻濾波器滿足最小阻帶衰減要求，在由非對稱的帶阻濾波器變換為對稱的帶阻濾波器時，保留非對稱帶阻濾波器的阻帶截止頻率調(diào)整兩個通帶截止頻率中的一個，調(diào)整過程步驟如下：1、 計算=2、 計算=，如果,用代替；3、 如果，計算=，并用代替；4、 如果A A，選擇A=min A, A。所有類型的變換，包括各自與低通原型的頻率

5、變換如表1所示。用頻率變換法設計一個模擬濾波器的步驟如下：1、確定低通、高通、帶通和帶阻模擬濾波器的技術要求。當要求的帶通或帶阻濾波器是非幾何對稱時，根據(jù)上面描述的過程使這些技術要求成幾何對稱的；2、根據(jù)表1中的變換關系，確定歸一化低通濾波器的技術要求：通帶截止頻率為，阻帶截止頻率為，阻帶衰減為A(dB),阻帶衰減為A (dB)；3、根據(jù)、A 和A，用巴特沃斯設計歸一化低通濾波器；4、根據(jù)表1最右欄的變換關系，得到要求的非歸一化模擬濾波器。 表1 模擬濾波器的頻率變換濾波器類型歸一化低通濾波器H(p)的技術指標要求要求的濾波器H(s), H(s)= H(p)低通H(p)低通H(s)P=低通H(

6、p)高通H(s)P=低通H(p)帶通H(s)P=低通H(p)帶阻H(s)P=下面我們用巴特沃斯濾波法來設計一個數(shù)字IIR帶阻型濾波器：濾波器規(guī)范：通帶下邊界頻率： 50HZ 通帶上邊界頻率： 450HZ阻帶下邊界頻率： 200HZ阻帶上邊界頻率： 300HZ通帶最大衰減： 3dB阻帶最小衰減： 20dB 抽樣頻率： 1KHZ3、帶阻濾波器的系數(shù)計算： 首先確定所要求的帶阻濾波器是否為幾何對稱的：=2*50*2*450=4*2.25*10=2*200*2*300=4*6*10因為，而且設計的是帶阻濾波器，所以需要調(diào)整這個帶阻濾波器的通帶上下邊界頻率。因為： =，=，則= 用值代替值，即令=2*1

7、33.3HZ。因此，所要求的帶阻濾波器的指標調(diào)整為：=2*133.3/1000 rad/s=2*450/1000 rad/s=2*200 /1000rad/s=2*300 /1000rad/sB=2*266.7 /1000rad/s=2*245 /1000rad/sA= A=3 dBA= A=20 dB根據(jù)表1中間欄的變換關系式，將上述給定的帶阻濾波器指標要求轉(zhuǎn)化為相應的歸一化低通技術要求，有 =1=2.6根據(jù)上面的技術要求，可以采用查表法或計算法來設計歸一化的巴特沃斯低通濾波器，這里采用計算法。 由式 確定最小的的濾波器階數(shù)，得N=1.9取N=2，計算巴特沃斯濾波器的歸一化極點 p=ee k

8、=0,1 p=e=-0.5000+0.8660j p= e=-1.0000+0.0000j因此，低通濾波器的歸一化傳輸函數(shù)H(p)為 H(p)= = 根據(jù)表1最右邊欄的變換關系式，把歸一化低通濾波器變成所要求的帶阻濾波器的傳輸函數(shù)H(s) H(s) =H(p) =由雙線性變換法求得數(shù)字巴特沃斯帶阻濾波器的傳遞函數(shù)為： H（Z）= H(s)=軟件設計部分Fs=1000;Ap=3;As=20;Wp=50/500,450/500;Ws=200/500,300/500;b,a=butter(N,Ws,stop)系統(tǒng)指標：傳輸函數(shù)系數(shù)A：系數(shù)B：4、帶阻濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)： 令H（Z）=H(Z)H(Z)：

9、 其中 H(Z)= H(Z)= 對應的定義濾波器的差分方程如下：濾波器部分1：w(n)=(1/s)x(n)-aw(n-2) y(n)= w(n)s/s+ w(n-2) s/s濾波器部分2：w(n)= y(n)- w(n-2)y(n)= w(n) s+ w(n-2) s系數(shù)和的精確值依賴于我們對H（Z）的多項式的分子和分母如何組對，以及實現(xiàn)多項式的二階濾波器部分是如何排序的。最好的組對和排序只能通過有限字長分析來確定。實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)圖如下：x(n) y(n) -a s/s s Z Z 圖3、濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖5、有效字長效應分析：由給定的性能規(guī)范，我們將假設使用的算法是定點的2的補碼算術，每一個系數(shù)

10、被舍入量化到16位字長。這里我們主要的是評估不同量化誤差對濾波器性能的影響，以及根據(jù)信噪比確定最好的濾波器結(jié)構(gòu)用于實現(xiàn)，所要考慮的誤差源主要是：1、 溢出誤差2、 舍入誤差3、 系數(shù)量化誤差但由于DSP本身有限字長和精度的因素，加上IIR濾波器在結(jié)構(gòu)上存在反饋回路，是遞歸型的，再者高階濾波器參數(shù)的動態(tài)范圍很大。這樣一來造成兩個后果：結(jié)果溢出和誤差增大，從而導致算法無法在DSP上實現(xiàn)。解決此問題的有效方法是把高階IIR數(shù)字濾波器簡化成幾個2階濾波器來設計，即采用級聯(lián)結(jié)構(gòu)。因此系統(tǒng)函數(shù)為：H(z)=H1(z)H2(z)Hn(z)(3)上述4階IIR數(shù)字濾波器采用級聯(lián)的結(jié)構(gòu)后變成2個濾波器級聯(lián)的形式

11、，每個濾波器的系數(shù)表如下所示。量化前濾波器系數(shù)為了設計可實現(xiàn)的IIR濾波器:需要對上一步分解獲得的二階基本節(jié)的濾波器系數(shù)進行量化,即用一個固定的字長加以表示。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差,由此會導致濾波器的頻率響應出現(xiàn)偏差,嚴重時會使IIR濾波器的極點移到單位圓之外,系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性。為了獲得最優(yōu)的濾波器系數(shù)量化后濾波器的系數(shù)：除了系數(shù)存在量化誤差,數(shù)字濾波器運算過程中有限字長效應也會造成誤差,因此對濾波器中乘法器、加法器及寄存器的數(shù)據(jù)寬度要也進行合理的設計,以防止產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象和溢出振蕩。量化過程中由于存在不同程度的量化誤差，由此會導致濾波器的頻率響應出現(xiàn)偏差，嚴重時會使IIR濾波

12、器的極點移到單位圓之外，系統(tǒng)因而失去穩(wěn)定性圖4、量化前后系統(tǒng)的零極點圖 由圖4可看出系統(tǒng)零極點都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定可實現(xiàn)。這兩個可能的濾波器結(jié)構(gòu)的每一個都有不同的比例因子，以及不同的信號舍入誤差。這個步驟的目標是根據(jù)信噪比性能方面來確定最好的組對和排序。溢出和舍入誤差是緊密相連的，所以伸縮變換和舍入分析應該同時進行。利用有限字長的分析程序，可以得到對于上面兩個可能的濾波器的比例因子，它們是基于L 、L 和L的范數(shù)。在這個例子里，我們利用了L的范數(shù)，對于一個以兩個標準部分串聯(lián)實現(xiàn)的四階濾波器，在伸縮變換以后，輸出端的舍入噪聲為：=3s| H(Z)H(Z)|+5s|H(z)|+3其中q是量化步長

13、或舍入，|.|是L范數(shù)的平方。H(Z)是第一級濾波器的傳遞函數(shù)，H(Z)是第二級濾波器的傳遞函數(shù)，s是第一個濾波器階段的伸縮比例因子，s是第二個濾波器的比例因子。系統(tǒng)的量化誤差的效應：我們檢查那些給出的系數(shù)字長是否滿足穩(wěn)定和頻率響應的規(guī)范。當極點不是非常靠近單位圓時，16位的系數(shù)字長對保持穩(wěn)定是足夠的。例如，對于第一個濾波器部分，實驗程序表明2位就足以滿足穩(wěn)定要求，把系數(shù)量化成16位僅改變極點半徑。采用16位系數(shù)字長時，濾波器的響應實際上和未量化的濾波器的響應是一樣的。圖5描繪了量化前后的濾波器的頻率響應。圖5、帶阻濾波器量化前后的幅頻響應-為量化前 量化后6、帶阻濾波器的軟件實現(xiàn)：由系統(tǒng)指標

14、規(guī)范可編程：N為濾波器的階數(shù)；zz和pz為系統(tǒng)的零點和極點；kz為系統(tǒng)的增益：Fs=1000;Ap=3;As=20;Wp=50/500,450/500;Ws=200/500,300/500;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As);zz,pz,kz=butter(N,Ws,stop);b,a=butter(N,Ws,stop);Subplot(2,1,1)H,f=freqz(b,a,512,Fs);Plot(f,abs(H)Xlabel(頻率/(HZ)Ylabel(幅度/(dB)Subplot(2,1,2)Zplane(b,a)極點(pz)：增益（kz）：圖6、帶阻濾波器的幅頻響應，

15、零極點圖圖7、量化前后階躍響應圖8、群延時響應圖9、量化前后脈沖響應總結(jié)在信號與信息的過濾、檢測和預測等處理中，都要使用濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用最廣泛的一種方法。IIR數(shù)字濾波器的設計過程中，可以借助模擬濾波器的設計成果或直接采用典型的濾波器類型，減少工作量.。通過這個實驗，對設計帶通數(shù)字濾波器的整個過程有了很好的掌握。其中雙線性變換法，巴特沃斯設計模擬濾波器的運用，也比較熟悉了。通過對數(shù)字帶通濾波器的設計，熟悉了MATLAB的運行環(huán)境，初步掌握了MATLAB語言在數(shù)字信號處理中一些基本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫基本程序等應用；熟悉了濾波器設計的一般原理，對濾波器有了一個感性的認識；學會了數(shù)字高通濾波器設計的一般步驟；加深了對濾波器設計中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點的理解和認識?？傊估碚撀?lián)系了實際，鞏固并深化了對課本基本知識的認識和理解，使理論得以升華。參考文獻：1 邢培育，崔克清.一種基于TMS320C5402的數(shù)字IIR濾波器設計J.數(shù)據(jù)采集與處理，2002；2 高宇晨，戴居豐.改進的IIR濾波器避免運算溢出和定點DSP的實現(xiàn)J. 天津通信技術，2001；3 陳愛萍，胡曉東.基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設計J. 湖南工程學院學報，2004；4 齊海兵,平冠軍,陶文超.無限沖激響應濾波器的設計與實現(xiàn)J.微計算機信息,2006;18