數(shù)學(xué)：221《綜合法和分析法》課件(1)(新人教A版選修2-2

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1、 2.2 直 接 證 明 與 間 接 證 明 綜 合 法 和 分 析 法 探 究 （ 一 ） ： 綜 合 法 思 考 1： 對 于 不 等 式其 左 右 兩 邊 的 結(jié) 構(gòu) 有 什 么 特 點(diǎn) ？2 2 2 2( ) ( ) 4a b c bc a abc+ + + 右 邊 是 3個(gè) 數(shù) a， b， c的 乘 積 的 4倍 ， 左 邊為 兩 項(xiàng) 之 和 ， 其 中 每 一 項(xiàng) 都 是 一 個(gè) 數(shù) 與另 兩 個(gè) 數(shù) 的 平 方 和 之 積 . 思 考 2： 利 用 哪 個(gè) 知 識(shí) 點(diǎn) 可 以 溝 通 兩 個(gè) 數(shù)的 平 方 和 與 這 兩 個(gè) 數(shù) 的 積 的 不 等 關(guān) 系 ？基 本 不 等 式思

2、 考 3： 若 已 知 a 0， b 0， 如 何 利 用 不等 式 性 質(zhì) 證 明 2 2 2 2( ) ( ) 4a b c bc a abc+ + + + 例 :已 知 a0,b0,求 證 a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc因 為 b2+c2 2bc,a0所 以 a(b2+c2) 2abc.又 因 為 c2+b2 2bc,b0所 以 b(c2+a2) 2abc.因 此 a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.證 明 : 直 接 證 明 法 1、 綜 合 法利 用 已 知 條 件 和 某 些 數(shù) 學(xué) 定 義 、 公 理 、定 理 、 性 質(zhì) 、 法 則 等 ， 經(jīng) 過 一

3、系 列 的 推理 論 證 ， 最 后 推 導(dǎo) 出 所 證 結(jié) 論 成 立 .綜 合 法 又 叫 “ 順 推 證 法 ” 或 “ 由 因 導(dǎo) 果 法 ” ， 其 基 本思 想 是 ： 由 已 知 推 可 知 ， 逐 步 推 出 未 知 .若 用 P表 示 已知 條 件 和 某 些 數(shù) 學(xué) 定 義 、 公 理 、 定 理 、 性 質(zhì) 、 法 則 等 ，Q表 示 所 要 證 明 的 結(jié) 論 ， 則 綜 合 法 的 推 理 過 程 用 流 程框 圖 可 怎 樣 表 示 ？ 1P Q 1 2Q Q 2 3Q Q nQ Q 1 , ,. P Q RABC AB PBC QAC R 例 、 在 平 面 外

4、,求 證 : 、 、 三 點(diǎn) 共 線 2 2 22 ABC AB=a,CA=b,1:S | | | | )2ABC a b a b 例 、 在 中 ， 設(shè)求 證 例 3： 在 中 ， 三 個(gè) 內(nèi) 角 、 、 對 應(yīng) 的 邊 分 別 為 a、 b、 c， 且 、 、 成 等 差 數(shù) 列 ， a、 b、 c成等 比 數(shù) 列 ， 求 證 為 等 邊 三角 形 引 例 ： 基 本 不 等 式 ： (a0,b0)的 證 明 . a + b a b2證 明 :因 為 ; 所 以所 以所 以 成 立( )b 2 0a 2 0a+b ab 2a+b aba+b ab2 證 明 :要 證 ;只 需 證 ;只 需

5、 證 ;只 需 證 ;因 為 ; 成 立所 以 成 立a+b ab22a+b ab 2 0a+b ab( )b 2 0a( )b 2 0a a + b ab2 定 義 ： 從 證 明 的 結(jié) 論 出 發(fā) ， 逐 步 尋 找 使 它成 立 的 充 分 條 件 ， 直 到 最 后 ， 把 要 證 明的 結(jié) 論 歸 結(jié) 為 只 需 判 定 一 個(gè) 明 顯 成 立 的條 件 （ 已 知 條 件 ， 定 義 、 定 理 、 公 理 ）為 止 。直 接 證 明 法 2、 分 析 法 【 分 析 法 】 從 結(jié) 論 出 發(fā) ， 尋 找 結(jié) 論 成 立 的 充 分 條 件直 至 最 后 ， 把 要 證 明 的

6、 結(jié) 論 歸 結(jié) 為 判 定 一個(gè) 明 顯 成 立 的 條 件 。要 證 ： 只 要 證 ： 只 需 證 ： 顯 然 成 立上 述 各 步 均 可 逆所 以 結(jié) 論 成 立 要 證 ： 所 以 結(jié) 論 成 立格 式 分 析 法 ， 又 叫 “ 逆 推 證 法 ” 或 “ 執(zhí) 果 索因 法 ” ， 其 基 本 思 想 是 ： 由 未 知 探 需 知 ，逐 步 推 向 已 知 . 若 用 Q表 示 所 要 證 明 的 結(jié)論 ， 則 分 析 法 的 推 理 過 程 用 流 程 框 圖 可怎 樣 表 示 ？ 1Q P 1 2P P 2 3P P顯 然 成 立 的 條 件 例 4 求 證 ： .3 7

7、2 5+ 【 例 5】 如 圖 ： 過 A作 SB的 垂 線 ， 垂 足 為 E， 過 E作 SC 的 垂 線 ， 垂 足 為 F。 求 證 ： BCABABCSA ,平 面SCAF AS B CEF 例 6 已 知 sin cos 2sin ， sin cos sin2 ，其 中 ， 求 證 ：, ( )2k k Zpa b p + 2 2 2 21 tan 1 tan1 tan 2(1 tan )a ba b- -=+ + 直接證明（數(shù)學(xué)理論）上 述 兩 種 證 法 有 什 么 異 同 ？都 是 直 接 證 明證 法 1 從 已 知 條 件 出 發(fā) ， 以 已 知 的 定 義 、 公 理

8、、定 理 為 依 據(jù) ， 逐 步 下 推 ， 直 到 推 出 要 證 明 的 結(jié) 論為 止 綜 合 法相 同不 同 證 法 2 從 問 題 的 結(jié) 論 出 發(fā) ， 追 溯 導(dǎo) 致 結(jié) 論 成 立 的條 件 ， 逐 步 上 溯 ， 直 到 使 結(jié) 論 成 立 的 條 件 和 已 知條 件 吻 合 為 止 分 析 法 【 探 究 1】 將 9個(gè) 球 分 別 染 成 紅 色 或 白色 無 論 怎 樣 染 色 ， 至 少 有 5個(gè) 球 同 色 的 。正 確 嗎 ？ 間 接 證 明 法 反 證 法 反 證 法 ： 假 設(shè) 原 命 題 不 成 立 （ 即 在 原 命 題 的 條件 下 ， 結(jié) 論 不 成

9、立 ） ， 經(jīng) 過 正 確 的 推 理 ，最 后 得 出 矛 盾 ， 因 此 說 明 假 設(shè) 錯(cuò) 誤 ， 從而 證 明 了 原 命 題 成 立 . 思 考 1： 用 反 證 法 證 題 的 核 心 問 題 是 什 么 ？ 在 正 確 的 推 理 下 得 出 矛 盾 . 思 考 2： 在 反 證 法 應(yīng) 用 中 ， 矛 盾 的 構(gòu) 設(shè) 有哪 幾 種 情 形 ？（ 1） 與 已 知 條 件 矛 盾 ； （ 2） 與 假 設(shè) 矛 盾 ； （ 3） 與 定 義 、 公 理 、 定 理 、 性 質(zhì) 矛 盾 ； （ 4） 與 客 觀 事 實(shí) 矛 盾 . 例 7， 已 知 a 0 ,證 明 關(guān) 于 x 的

10、方 程 a x = b 有 且 只 有 一 個(gè) 根 。 用 反 證 法 證 題 的 一 般 步 驟（ 1） 假 設(shè) 命 題 的 結(jié) 論 不 成 立 ， 即 假 設(shè) 結(jié) 論 的 反 面 成 立 ；（ 2） 從 這 個(gè) 假 設(shè) 出 發(fā) ， 經(jīng) 過 推 理 論 證 , 得 出 矛 盾 ；（ 3） 由 矛 盾 判 定 假 設(shè) 不 成 立 ， 從 而 肯 定 命 題 的 結(jié) 論 正 確 。 適 宜 使 用 反 證 法 的 情 況 （ 1） 結(jié) 論 以 否 定 形 式 出 現(xiàn) （ 2） 結(jié) 論 以 “ 至 多 -， ” ， “ 至 少 -” 形 式 出 現(xiàn) （ 3） 唯 一 性 、 存 在 性 問 題 （

11、 4） 結(jié) 論 的 反 面 比 原 結(jié) 論 更 具 體 更 容 易 研 究 的 命 題 。 常 見 否 定 用 語是 不 是 有 沒 有等 不 等 成 立 不 成 立都 是 不 都 是 ， 即 至 少 有 一 個(gè) 不 是都 有 不 都 有 ， 即 至 少 有 一 個(gè) 沒 有都 不 是 部 分 或 全 部 是 ， 即 至 少 有 一 個(gè) 是唯 一 至 少 有 兩 個(gè)至 少 有 一 個(gè) 有 （ 是 ） 全 部 沒 有 （ 不 是 ）至 少 有 一 個(gè) 不 全 部 都 例 8 已 知 直 線 a， b和 平 面 ， 如果 ， ,且 a/b， 求 證 ：a/.理 論 遷 移 a b ba , 小 結(jié)

12、1.在 數(shù) 學(xué) 證 明 中 ， 綜 合 法 和 分 析 法 是兩 種 最 常 用 的 數(shù) 學(xué) 方 法 ， 若 從 已 知 入 手能 找 到 證 明 的 途 徑 ， 則 用 綜 合 法 ， 否 則用 分 析 法 . 2.綜 合 法 的 每 步 推 理 都 是 尋 找 必 要 條件 ， 分 析 法 的 每 步 推 理 都 是 尋 找 充 分 條件 ， 在 解 題 表 述 中 要 注 意 語 言 的 規(guī) 范 性和 邏 輯 性 . 3.綜 合 法 和 分 析 法 是 兩 種 互 逆 的 思 維模 式 ， 在 證 明 某 些 較 復(fù) 雜 的 問 題 時(shí) ， 常采 用 分 析 綜 合 法 ， 用 綜 合

13、法 拓 展 條 件 ，用 分 析 法 轉(zhuǎn) 化 結(jié) 論 ， 找 出 已 知 與 結(jié) 論 的連 結(jié) 點(diǎn) . 3.反 證 法 是 一 種 間 接 證 明 的 方 法 ， 是解 決 某 些 “ 疑 難 ” 問 題 的 有 力 工 具 ， 其基 本 思 路 是 ：假 設(shè) 結(jié) 論 不 成 立 構(gòu) 設(shè) 矛 盾 否 定 假 設(shè)肯 定 結(jié) 論 . 4.反 證 法 主 要 適 用 于 以 下 兩 種 情 形 ： （ 1） 所 證 的 結(jié) 論 與 條 件 之 間 的 聯(lián) 系 不明 顯 ， 直 接 有 條 件 推 出 結(jié) 論 線 索 不 清 晰 ； （ 2） 從 正 面 入 手 需 要 分 成 多 種 情 形 進(jìn)行 討 論 ， 而 從 反 面 證 明 ， 只 要 研 究 一 種或 很 少 的 幾 種 情 形 .