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1、張洲博劉浩宇22
高考數(shù)學(xué)試題分類匯編圓錐曲線
一． 選擇題：
1.（福建卷11)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為B
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
2.（海南卷11）已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（ A ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
3.(湖北卷10)如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月
2、球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正確式子的序號是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
4.（湖南卷8）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點到右焦點的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( B )
A.(1,2) B.(2,+) C.
3、(1,5) D. (5,+)
5.（江西卷7）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是C
A． B． C． D．
6.（遼寧卷10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ A ）
A． B． C． D．
7.（全國二9）設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
8.（山東卷(10)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為A
（A
4、） (B) (C) (D)
9.（陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
10.（四川卷12）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，點在上且，則的面積為( B )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
11.（天津卷（7）設(shè)橢圓（，）的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為B
（A） （B） （C） （D）
12.（浙江卷7）若雙曲線的兩個焦點到
5、一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是D
（A）3 （B）5 （C） （D）
13.（浙江卷10）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是B
（A）圓 （B）橢圓
（C）一條直線 （D）兩條平行直線
14.（重慶卷(8)已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為C
（A）－=1 (B) (C) (D)
二． 填空題：
1.（海南卷14）過雙曲線的右頂
6、點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為_______
2.（湖南卷12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=過頂點A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 .
3.（江蘇卷12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ．
4.（江西卷15）過拋物線的焦點作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側(cè)），則 ．
5.（全國一14）已知拋物線的焦點是坐標(biāo)原點，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點為頂點
7、的三角形面積為 ．2
6.（全國一15）在中，，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 ．
7.（全國二15）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設(shè)，則與的比值等于 ．
8.（浙江卷12）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=______________。8
三． 解答題：
1.（安徽卷22）．（本小題滿分13分）
設(shè)橢圓過點，且著焦點為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上
解 (1)由題意： ，解得，
8、所求橢圓方程為
(2)方法一
設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為。
由題設(shè)知均不為零，記,則且
又A，P，B，Q四點共線，從而
于是 ，
，
從而
，（1） ，（2）
又點A、B在橢圓C上，即
（1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得
即點總在定直線上
方法二
設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。
且
又 四點共線，可設(shè),于是
（1）
9、 （2）
由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 得
即點總在定直線上
2.（北京卷19）．（本小題共14分）
已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．
（Ⅰ）當(dāng)直線過點時，求直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求菱形面積的最大值．
解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．
因為四邊形為菱形，所以．
于是可設(shè)直線的方程為．
由得．
因為在橢圓上，
所以，解得．
設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，
則，，，．
所以．所以的中點坐標(biāo)為．由四邊形為菱形可知，點在直線上，
所以，解得．所以
10、直線的方程為，即．
（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且，
所以．所以菱形的面積．
由（Ⅰ）可得，所以．
所以當(dāng)時，菱形的面積取得最大值．
3.（福建卷21）（本小題滿分12分）
如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標(biāo)原點.
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
?。á颍┰O(shè)過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，值有,求a的取值范圍.
本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分.
解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為
11、短軸的兩個三等分點，
因為△MNF為正三角形，
所以, 即1＝ 因此，橢圓方程為
(Ⅱ)設(shè)
(ⅰ)當(dāng)直線 AB與x軸重合時，
(ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時，
設(shè)直線AB的方程為： 整理得
所以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角.
即恒成立.
12、
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mR恒成立.
當(dāng)mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0.
a20,b>0,所以a0,
解得a>或a<(舍去)，即a>,
綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x
13、軸時，
x=1代入=1.
因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (
14、x2-1)=(1+k2) x1x2-k2 (x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對kR恒成立.
①當(dāng)a2- a2 b2+b2>0時，不合題意；
②當(dāng)a2- a2 b2+b2=0時，a=;
③當(dāng)a2- a2 b2+b2<0時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.
4.（廣東卷18）．（本小題滿分14分）
設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已
15、知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．
A
y
x
O
B
G
F
F1
圖4
【解析】（1）由得，
當(dāng)?shù)茫珿點的坐標(biāo)為，，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點的坐標(biāo)為，
即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，
同理 以為直角的只有一個。
若以為直角，設(shè)點坐標(biāo)為，、兩點的坐標(biāo)分別為和，
16、。
關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，
即以為直角的有兩個，
因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
5.(湖北卷19).（本小題滿分13分）
如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.
若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.
本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）
（Ⅰ）解法1：以O(shè)為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面
17、直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設(shè)實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線C的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
則由 解得a2=b2=2,
∴曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的
18、方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴ ∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝
＝而原點O到直線l的距離d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有 ③
綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C
19、相交于不同的兩點E、F，
∴
.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得
｜x1-x2｜= ③
當(dāng)E、F在同一去上時（如圖1所示），
S△OEF＝當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示）.
S△ODE=綜上得S△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面積不小于2
?、?
綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.
6.（湖南卷20）.（本小題滿分13分）
若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與
20、
x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時，點P（x,0）
存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.
（I）證明：點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標(biāo)相同；
(II) 試問：點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.
解: （I）設(shè)AB為點P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標(biāo)分別是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,
兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.
設(shè)直線AB
21、的斜率是k，弦AB的中點是M（xm, ym）,則
k=.從而AB的垂直平分線l的方程為
又點P（x0,0）在直線上，所以 而于是故點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標(biāo)都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，
整理得 （）則是方程（）的兩個實根，且
設(shè)點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則
因為0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8).
記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時,
l有最大值2(x0-1).
若23時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2（x0-1）；當(dāng)2< x03時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.
8
浙江省磐安縣高考數(shù)學(xué)試題分類專題匯編圓錐曲線新人教A版
