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1、精品文檔
2016年+極坐標與參數(shù)方程+高考題的幾種常見題型
極坐標與參數(shù)方程高考題的幾種常見題型
一、極坐標方程與直角坐標方程的互化
例1(2007海南寧夏)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為，．
(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
(II)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．
二、已知曲線的極坐標方程,判斷曲線類型
例2(2014貴州貴陽高三適應性監(jiān)測考試,3)以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸，在兩種坐標系中取相同單位的長度. 已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點是曲線上的一動點.
求線段的中點的軌跡方程； (Ⅱ) 求曲線上的點到直
2、線的距離的最小值.
三、求曲線的交點坐標
例3在極坐標系下，已知圓和直線。(1)求圓和直線的直角坐標方程；當時，求直線于圓公共點的極坐標。
根據(jù)條件求直線和圓的極坐標方程
例4(2009遼寧)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為cos=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點。
寫出C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；
設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程。
解：
參數(shù)方程的問題
例5(2014山西忻州一中、康杰中學、臨汾一中、長治二中四校高三第三次聯(lián)考，23)在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極
3、坐標系，曲線的極坐標方程為
求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.
[解析]
(2014山西太原高三模擬考試，23)在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為，且曲線C1上的點M對應的參數(shù) . 且以O為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線與曲線C2交于點. 求曲線C1的普通方程，C2的極坐標方程；[若 是曲線C1上的兩點，求的值.
2.(2014福州高中畢業(yè)班質量檢測,1(2))在平面直角坐標系中, 以為極點, 軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為, 直線l的參數(shù)
4、方程為: (為參數(shù)) ，兩曲線相交于, 兩點.
寫曲線直角坐標方程和直線普通方程;若, 求的值．
(2014河北石家莊高中畢業(yè)班復習教學質量檢測，23)已知直線的參數(shù)方程為：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
求曲線的參數(shù)方程；當時，求直線與曲線交點的極坐標.
[解析]
(2014黑龍江哈爾濱第三中學第一次高考模擬考試，23) 已知在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為 求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的取值范圍.
[解析]
5.選修4
5、—4: 坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
求圓C的極坐標方程；直線的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長．
6.(2014河南豫東豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試數(shù)學試題,3) 已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)) ．
(I) 將曲線C的極坐標方程和直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程和普通方程；
(Ⅱ) 若直線與曲線C相交于A，B兩點，且，試求實數(shù)m的值．
7.(2014吉林省長春市高
6、中畢業(yè)班第二次調研測試，23)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)) ，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．求圓的直角坐標方程；若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．
[解析]
8.(2014周寧、政和一中第四次聯(lián)考，21)在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是將的方程化為普通方程；以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設曲線的極坐標方程是， 求曲線與交點的極坐標.
[解析]
9.(2014江蘇蘇北四市高三期末統(tǒng)考,1C) 在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程是；以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為. 由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值
7、.
[解析
(2014河南鄭州高中畢業(yè)班第一次質量預測,3)已知曲線 (t為參數(shù)) ， (為參數(shù))化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線;
過曲線的左頂點且傾斜角為的直線交曲絨于A，B兩點，求.
[解析]
(2014河北衡水中學高三上學期第五次調研考試,3) 在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為. 以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點，直線的極坐標方程為.判斷點與直線的位置關系，說明理由；
(Ⅱ) 設直線與直線的兩個交點為、，求的值.
[解析]
(2014蘭州高三第一次診斷考試,3)在直角坐標系中，以原點O為極點，以軸正半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位
8、，建立極坐標系，設曲線C參數(shù)方程為，直線的極坐標方程為.
寫出曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；
求曲線C上的點到直線的最大距離，并求出這個點的坐標.
[解析]
試題）在極坐標系中，已知圓C的圓心，半徑r=． 求圓C的極坐標方程；
若，直線的參數(shù)方程為，直線交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．
解：
15.
在平面直角坐標系xOy中，已知M是橢圓＋＝1上在第一象限的點，A(2，0)，B(0，2)是橢圓兩個頂點，求四邊形OAMB的面積的最大值．
解
16.試題）
在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程是；以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為．
9、
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寫出直線的普通方程與圓的直角坐標方程；
由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值.
【解析】:
17.試卷）
在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，為直線與曲線的公共點，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.求點的極坐標；
將曲線上所有點的縱坐標伸長為原來的倍(橫坐標不變)后得到曲線，過點作直線，若直線被曲線截得的線段長為，求直線的極坐標方程.
解：
18.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極
10、坐標系，圓的極坐標方程為．求圓的直角坐標方程；若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．
【解析】：
、
以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為。求直線l和圓C的直角坐標方程；若點P在圓C上，求的取值范圍．
）直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是上的動點,點滿足=,點的軌跡為. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.
【解析】
22.試題）在直角坐標系中,以O為極點,軸正半軸為極軸建立極
11、坐標系,曲線C1的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),).
(Ⅰ)求C1的直角坐標方程;
(Ⅱ)當C1與C2有兩個公共點時,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【答案】
一、極坐標方程與直角坐標方程的互化
例1解： (I)，，由得．所以．
即為⊙O1的直角坐標方程．同理為⊙O2的直角坐標方程
(II)解:由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．
二、已知曲線的極坐標方程,判斷曲線類型
例2[解析]設中點的坐標為，依據(jù)中點公式有，
這是點軌跡的參數(shù)方程，消參得點的直角坐標方程為.
直線的普通方程為，曲線的普通方程為，
表示以為圓心，以2
12、為半徑的圓，故所求最小值為圓心到直線 的距離減去半徑，設所求最小距離為d，則.因此曲線上的點到直線的距離的最小值為.
三、求曲線的交點坐標
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例3解：圓，即
圓的直角坐標方程為：，即
直線，即則直線的直角坐標方程為：，即。
由得故直線與圓公共點的一個極坐標為。
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根據(jù)條件求直線和圓的極坐標方程
例4解：由C直角方程為M點的直角坐標為N點的直角坐標為P點的直角坐標為直線OP極坐標方程為
13、
參數(shù)方程的問題
例5[解析]由曲線： 得兩式兩邊平方相加得：即曲線的普通方程為： 由曲線：得：所以即曲線的直角坐標方程為:
(2) 由知橢圓與直線無公共點，橢圓上的點到直線的距離為
所以當時，的最小值為，此時點的坐標為
2[解析] (Ⅰ) (曲線的直角坐標方程為, 直線的普通方程.
(Ⅱ) 直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入, 得到, , 對應的參數(shù)分別為, ，則
[解析] 由，可得
所以曲線的直角坐標方程為，標準方程為，
曲線的極坐標方程化為參數(shù)方程為
當時，直線的方程為，化成普通方程為，
由，解得或，所以直線與曲線交點的極坐標分別為，；, .
[解析]直線的普通方
14、程為，C直角坐標方程為.設點，則，
所以的取值范圍是. (10分）
5.
6.
[解析]圓的極坐標方程為所以又所以所以圓的普通方程設由:
所以圓的圓心是，半徑是 將代入得
又直線過，圓的半徑是，所以即的取值范圍是
[解析]依題意，的普通方程為，由題意，的普通方程為，代入圓的普通方程后得，解得，，點、的直角坐標為，，從而，.
[解析]因為圓的極坐標方程為，所以，
所以圓的直角坐標方程為，圓心為, 半徑為1,
因為直線的參數(shù)方程為，所以直線上的點向圓C 引切線長是，
所以直線上的點向圓C引的切線長的最小值是.
[解析]解曲線為圓心是，半徑是1的圓.
曲線為中心是坐標
15、原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.
曲線的左頂點為，則直線的參數(shù)方程為
將其代入曲線整理可得：，設對應參數(shù)分別為，
則所以.
[解析]直線即， :，點在上. (Ⅱ) 直線的參數(shù)方程為，曲線C的直角坐標方程為，
將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，有，設兩根為，.
[解析]由得，則直線的普通方程為. 由得曲線的普通方程為.
在 上任取一點，則點到直線的距離為
， 當，即時， ，此時點. 直角坐標，所以圓的直角坐標方程為，……2分
由得，圓C的直角坐標方程為．……5分
將，代入的直角坐標方程，
得，則，設Ａ，Ｂ對應參數(shù)分別為，，則
，，
因為
16、，所以所以，所以的取值范圍為
15.解：設M(2cosθ，2sinθ)，θ(0，)．由題知OA＝2，OB＝2， ……………2分
∴四邊形OAMB面積S＝OA2sinθ＋OB2cosθ＝2sinθ＋2cosθ＝2sin(θ＋) 所以當θ＝時，四邊形OAMB的面積的最大值為2． ……………………10分
16.【解析】: ,曲線C: ……………4分
因為圓極坐標方程，所以，
所以圓的直角坐標方程為，圓心為,半徑為1,
因為直線的參數(shù)方程為，所以直線上的點向圓C 引切線長是
所以直線上的點向圓C引的切線長的最小值是． …………………10分
17解：的普通方程為。將代入上式整理得，解得
17、
故點的坐標為，其極坐標為. ………………………5分
坐標變換式為故的方程為，即…7分
當直線的斜率存在時,設其方程為，即，
由圓心到直線距離得，，∴直線為，
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當直線的斜率不存在時，其方程為，顯然成立.
故直線的極坐標方程為或. …………………10分
18.【解析】：圓的極坐標方程為∴
又，所以
所以圓的普通方程
『解法1』：設由圓的方程
所以圓的圓心是，半徑是將代入得
又直線過，圓的半徑是，所以，所以
即的取值范圍是
21.
【解析】(Ⅰ)設(,),則由條件知(,),由于在上,
∴,即,∴的參數(shù)
18、方程為(為參數(shù));
(Ⅱ)曲線的極坐標方程為=,曲線的極坐標方程為=,
∴射線與的交點的極徑為=,射線與的交點的極徑為=, ∴==.
22.【答案】解:(Ⅰ)曲線的極坐標方程為,
∴曲線的直角坐標方程為.
(Ⅱ)曲線的直角坐標方程為,為半圓弧,
如下圖所示,曲線為一族平行于直線的直線,
當直線過點時,利用得,
舍去,則,當直線過點、兩點時,,
∴由圖可知,當時,曲線與曲線有兩個公共點.
23【答案】解: (I)當時,C1的普通方程為的普通方程為聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點為(1,0),
(II)C1的普通方程為. A點坐標為
故當變化時,P點軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)).
19、
P點軌跡的普通方程為故P點軌跡是圓心為半徑為的圓.
）直線:(t為參數(shù)),圓: (為參數(shù)), (Ⅰ)當=時,求與的交點坐標; (Ⅱ)過坐標原點O作的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當變化時,求P點軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線;
【答案】
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