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1、數(shù)形結(jié)合解零點問題小議
“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微”（華羅庚語）.數(shù)形結(jié)合指的是在解決數(shù)學(xué)問題時，使數(shù)的問題，借助形更直觀，而形的問題，借助數(shù)更理性.函數(shù)的零點就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合能給零點問題的解決帶來極大的方便.
一、零點個數(shù)問題
(圖1)
例1．函數(shù)的零點有 個.
解析: 的零點就是方程的解,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖1) ,可見函數(shù)的零點個數(shù)為1.
評注:函數(shù)的圖象不容易畫,所以轉(zhuǎn)化為容易畫的和的圖象的交點問題加以觀察.
(圖2)
例2.討論函數(shù)的零點個數(shù).
解析: 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖2) ,可見:
2、
當(dāng)時, 和沒有公共點, 函數(shù)的零點個數(shù)為0;
當(dāng)或時, 和有2個公共點, 函數(shù)的零點個數(shù)為2;
當(dāng)時, 和有3個公共點, 函數(shù)的零點個數(shù)為3;
當(dāng)時, 和有4個公共點, 函數(shù)的零點個數(shù)為4.
(圖3)
例3.若存在區(qū)間,使函數(shù)的值域是,求實數(shù)的范圍.
解析: 因為在上遞增,若存在區(qū)間,使在上的值域是,必有.問題轉(zhuǎn)化為“求的范圍,使關(guān)于x的方程有兩個不等實根”.
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出和的圖象(如圖3),可見當(dāng)時, 和的圖象有兩個不同的公共點.
由得: ,.所以當(dāng)時,直線與曲線相切.
結(jié)合圖形觀察得,當(dāng)時, 和的圖象有兩個不同的公共點,此時關(guān)于x的方程有兩個不等實根.
3、
所以的范圍是.
評注: 由于畫圖精確性的限制,直線與曲線相切時的的值,并不能通過圖象觀察得出,這時要以數(shù)助形,運算求解.
二、零點所在區(qū)間問題
(圖4)
例4．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)
y =lgx與的圖象(如圖4).它們的交點橫坐標(biāo),顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此排除A、D.至于選B還是選C,單憑直觀比較困難了,這時要比較與2的大小.
當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3－x=1.由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C.
評注
4、:數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫.本題不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷.
例5.已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍．
(圖5)
解析:當(dāng)時, 函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
當(dāng)時, 的零點就是關(guān)于的方程的根.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象(如圖5).
若過定點A(0,)的直線與拋物線相切于軸下方,由中的,解得(當(dāng)時,切點在軸上方).
設(shè)直線與交于B點,直線AB的斜率.
所以使與有公共點的的范圍是.
解不等式得, 實數(shù)a的取值范圍為(-∞, ]∪[1, +∞).
評注:此題是一元二次方程根的分布問題，涉及到在區(qū)間內(nèi)有一個根、兩個根等情況.此題有多種解題方法，此處數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以減少分類討論.
三、零點值的問題
(圖6)
例6.若函數(shù)的零點是,的零點是,求的值.
解析: 在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、與的圖象(如圖6).
設(shè)與交于點A，與交于點B，因為和互為反函數(shù)，所以A、B兩點關(guān)于直線對稱,有.
又A在上,所以.
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