高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿

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1、高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿 一、教材分析 1. 教材中的地位及作用 本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后,在此基礎(chǔ) 上,反過(guò)來(lái)利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱 要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,也是高考的一個(gè)考點(diǎn),是深入研究雙曲 線,靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ),更能使學(xué)生 理解、體會(huì)解析幾何這門(mén)學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀 念,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。 2. 教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù) 平面解析幾何研究的主要問(wèn)題之一就是:通過(guò)方程,研究平面曲 線的性質(zhì)。教學(xué)參考書(shū)中明確要求:學(xué)生要掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì), 初步掌握根據(jù)曲線的方程,研

2、究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根 據(jù)這些教學(xué)原則和要求,以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,我制定了本節(jié)課的 教學(xué)目標(biāo)。 (1)知識(shí)目標(biāo):①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的 范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì) ; ②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的幾何意義,理解雙曲線的漸近線的概念及證明 ; ③能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問(wèn)題。 (2)能力目標(biāo):①在與橢圓的性質(zhì)的類(lèi)比中獲得雙曲線的性質(zhì), 培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,想象能力,數(shù)形結(jié)合能力,分析、歸納能力 和邏輯推理能力,以及類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法 ; ②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法,加深對(duì) 直角坐標(biāo)系中曲線與方

3、程的概念的理解。 (3) 德育目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神,而且 能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的,變化的觀點(diǎn)分析理解事物。 3. 重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù) 對(duì)圓錐曲線來(lái)說(shuō),漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),而學(xué)生對(duì)漸近線 的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此,在教學(xué) 過(guò)程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn),充分暴露思維過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生 的創(chuàng)造性思維,通過(guò)誘導(dǎo)、分析,巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲 線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中,學(xué)生也易接受。 因此,我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點(diǎn),根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容 和教學(xué)大綱以及高考的要求,結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力, 我把

4、漸近線和離心率這兩個(gè)性質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)。 4. 教學(xué)方法 這節(jié)課內(nèi)容是通過(guò)雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi) 容類(lèi)似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類(lèi)比講解, 讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,得到類(lèi)似的結(jié)論。在教學(xué)中,學(xué)生自己能得 到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到,凡是難度不大,經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)生自己 能解決的問(wèn)題,應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的 積極性,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性,同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心,使 他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮,從中提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題 的能力。 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),我們常利用它作出雙曲線的草圖, 而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接

5、受、理解和掌握有一定的困難。 因此,在教學(xué)過(guò)程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過(guò)誘導(dǎo)、分析, 從已有知識(shí)出發(fā),層層設(shè) ( 釋?zhuān)?疑,激活已知,啟迪思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生 自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進(jìn)一步清晰概念 ( 或圖形 ) 特征,培養(yǎng)思維的深 刻性。 例題的選備,可將此題作一題多變 (變條件,變結(jié)論 ) ,訓(xùn)練學(xué)生 一題多解,開(kāi)拓其解題思路,使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、 提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。 二、教學(xué)程序 ( 一 ). 設(shè)計(jì)思路 ( 二 ). 教學(xué)流程 1. 復(fù)習(xí)引入 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓 的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),請(qǐng)同學(xué)們

6、來(lái)回顧這些知識(shí)點(diǎn),對(duì)學(xué)習(xí)的舊知識(shí) 加以復(fù)習(xí)鞏固,同時(shí)為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,利用多媒體工具的先 進(jìn)性,結(jié)合圖像來(lái)演示。 2. 觀察、類(lèi)比 這節(jié)課內(nèi)容是通過(guò)雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì),本節(jié)內(nèi) 容類(lèi)似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”,教學(xué)中可以與其類(lèi)比講解, 讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,首先觀察雙曲線的形狀,試著按照橢圓的幾 何性質(zhì),歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類(lèi)似于推導(dǎo) 橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率, 對(duì)知識(shí)的理解不能浮于表面只會(huì)看圖,也要會(huì)從方程的角度來(lái)解釋?zhuān)? 抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性 質(zhì)范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)

7、 (實(shí)軸、虛軸 ) 、離心率 (不深入的講解 ) 的鞏 固。之后,比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別, 這樣可以加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系,借助于類(lèi)比方法,引起學(xué)生學(xué)習(xí)的 興趣,激發(fā)求知欲。 3. 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明 (1) 發(fā)現(xiàn) 由橢圓的幾何性質(zhì),我們能較準(zhǔn)確地畫(huà)出橢圓的圖形。那么,由 雙曲線的幾何性質(zhì),能否較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙曲線 的圖形為引例,讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐,通過(guò)列表描點(diǎn),就能把雙曲線 的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)較準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái),但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不 是很清楚。從而說(shuō)明想要準(zhǔn)確的畫(huà)出雙曲線的圖形只有那四個(gè)性質(zhì) 是不行的。 從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的反比例函數(shù)入手,而且可

8、以比較精確的畫(huà)出 反比例函數(shù) 的圖像,它的圖像是雙曲線,當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí),它與 x 、 y 軸無(wú)限接近,此時(shí) x 、 y 軸是 的漸近線,為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想 雙曲線 有何特征 ?有沒(méi)有漸近線 ?由于雙曲線的對(duì)稱(chēng)性,我們只須研究它 的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時(shí),由雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,可解出 , ,當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí), y 也隨之增大,不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙 關(guān)系。但是如果將式子變形為 ,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn):當(dāng) x 無(wú)限增大, 逐漸減小、無(wú)限接近于 0,而 就逐漸增大、無(wú)限接近于 1( ); 若將 變形為 ,即說(shuō)明

9、此時(shí)雙曲線在第一象限,當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí),其上的點(diǎn)與 坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率比 1 小,但與斜率為 1 的直線無(wú)限接近, 且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無(wú)限伸展的變化趨勢(shì)就可以利用對(duì)稱(chēng)性 得到,從而可知雙曲線 的圖形在遠(yuǎn)處與直線 無(wú)限接近,此時(shí)我們就稱(chēng)直線 叫做雙曲線 的漸近線。這樣從已有知識(shí)出發(fā),層層設(shè) ( 釋)疑,激活已知,啟 迪思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力,進(jìn)一步清晰概念 ( 或圖形 ) 特 征,培養(yǎng)思維的深刻性。 利用由特殊到一般的規(guī)律,就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線 (a>0 , b>0) 的漸近線,讓學(xué)生同樣利用類(lèi)比的方法,將其變形為 , ,由于雙

10、曲線的對(duì)稱(chēng)性,我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化 趨勢(shì),繼續(xù)變形為 , ,可發(fā)現(xiàn)當(dāng) x 無(wú)限增大時(shí), 逐漸減小、無(wú)限接近于 0, 逐漸增大、無(wú)限接近于 ,即說(shuō)明對(duì)于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的 斜率比 小,與斜率為 的直線無(wú)限接近,且此點(diǎn)永遠(yuǎn)在直線 下方。其它象限向遠(yuǎn)處無(wú)限伸展的變化趨勢(shì)可以利用對(duì)稱(chēng)性得到, 從而可知雙曲線 (a>0 , b>0) 的圖形在遠(yuǎn)處與直線 無(wú)限接近,直線 叫做雙曲線 (a>0 , b>0) 的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn),充 分暴露思維過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過(guò)誘導(dǎo)、分析,巧妙 地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了

11、雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想 滲透于其中,學(xué)生也易接受。 (2) 證明 如何證明直線 是雙曲線 (a>0 , b>0) 的漸近線呢 ? 啟發(fā)思考①:首先,逐步接近,轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語(yǔ) 言?(x—oo ,d -0) 啟發(fā)思考②:顯然有四處逐步接近,是否每一處都進(jìn)行證明 ? 啟發(fā)思考③:鎖定第一象限后,具體地怎樣利用 x表示d ( 工具是什么:點(diǎn)到直線的距離公式 ) 啟發(fā)思考④:讓學(xué)生設(shè)點(diǎn),而 d的表達(dá)式較復(fù)雜,能否將問(wèn)題進(jìn) 行轉(zhuǎn)化 ? 分析:要證明直線 是雙曲線 (a>0, b>0)的漸近線,即要證明隨著x的增大,直線和曲線越來(lái) 越靠攏。也即要證曲線上的點(diǎn)

12、到直線的距離 |MQ|越來(lái)越短,因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算|MQ|。但因|MQ|不好直接 求得,因此又可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 |MN| 。 啟發(fā)思考⑤:這樣證明后,還須交代什么 ? ( 在其他象限,同理可證,或由對(duì)稱(chēng)性可知有相似情況 ) 引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究,從而更深刻的理解雙曲線的漸近 線的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程。 (3) 深化 再來(lái)研究實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線 (a>0 , b>0) 的漸近線方程就會(huì)變得容易很多,此時(shí)可利用類(lèi)比的 方法或者利用對(duì)稱(chēng)性得到焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的漸近線方程即為 。 這樣,我們就完滿(mǎn)地解決了畫(huà)雙曲線遠(yuǎn)處趨向問(wèn)題,從而可比較 精確的畫(huà)出雙曲線。但是

13、如果仔細(xì)觀察漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線過(guò)實(shí) 軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn),作平行與坐標(biāo)軸的直線 所成的矩形的兩條對(duì)角線,數(shù)形結(jié)合,來(lái)加強(qiáng)對(duì)雙曲線的漸近線 的理解。 4. 離心率的幾何意義 橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度,雙曲線離心率有何幾何意義 呢 ?不難得到: ,這是剛剛學(xué)生在類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)就可以得到的簡(jiǎn)單結(jié)論。 通過(guò)對(duì)離心率的研究,同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)漸近線的理 解。 由等式 ,可得: ,不難發(fā)現(xiàn): e 越小 ( 越接近于 1) , 就越接近于 0,雙曲線開(kāi)口越小 ;e 越大, 就越大,雙曲線開(kāi)口越大。所以,雙曲線的離心率反映的是雙曲 線的開(kāi)口大小。通過(guò)對(duì)這些性質(zhì)

14、的探究,就可以更好的理解雙曲線 圖形與這些基本量之間的關(guān)系,更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。 5. 例題分析 為突出本節(jié)內(nèi)容,使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這 樣的例題: 例 1.求雙曲線 9x2-16y2=144 的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦 點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個(gè)雙曲線的方 程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式,要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法: (1) 直 接根據(jù)漸近線方程寫(xiě)出 ;(2) 利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對(duì)角 線得到。加強(qiáng)對(duì)于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。 變 1:求雙曲線 9y2

15、-16x2=144 的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和 焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的:和上題相同先將所給 的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量 ; 但求 漸近線時(shí)可直接求出,也可以利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)求解。 關(guān)鍵在于對(duì)比:雙曲線的形狀不變,但在坐標(biāo)系中的位置改變, 它的那些性質(zhì)改變,那些性質(zhì)不變 ?試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。 ( 小 結(jié)列表 ) 變 2:已知雙曲線的漸近線方程是 ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ( ,3), 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。選題目的 :在已知雙曲線的漸近線的前提下,如何利用已知信息求解雙曲 線的方程。方法1:分焦點(diǎn)在x軸,焦點(diǎn)在y軸分別求解;方法2: 確定點(diǎn)

16、所在的區(qū)域,定方程的形式,然后求 a、 b 。深化知識(shí),加強(qiáng) 應(yīng)用,使知識(shí)系統(tǒng)化。 例題的選備,可將此題作一題多變 (變條件,變結(jié)論 ) ,訓(xùn)練學(xué)生 一題多解,開(kāi)拓其解題思路,使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、 提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力。 6. 課堂練習(xí) 課本P113練習(xí)1.2,讓學(xué)生自己練習(xí),熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾 何性質(zhì)解題,加強(qiáng)應(yīng)用性。 7. 課堂小結(jié) (1) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要求學(xué)生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質(zhì),尤 其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用 雙曲線的幾何性質(zhì) ; (2) 雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié) ( 學(xué)生填表歸納 ) 。 8. 課后作業(yè) 課本P113習(xí)題1.2.3 ,鞏固并掌握課上所學(xué)的知識(shí)。 思考:雙曲線與其漸近線的方程之間有何內(nèi)在的變化規(guī)律 ?看過(guò) " 高一數(shù)學(xué)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)課稿 " 的還看了 :

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