高中數(shù)學(xué)第一章《算法案例》教案1新人教A版必修3

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1、 1.3 算法案例 第一、二課時(shí) 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) （ 1）教學(xué)目標(biāo) （ a）知識(shí)與技能 1. 理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并 能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析。 2. 基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序。（ b）過程與方法 在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)比我們常見的約分求公因式 的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué) 算法計(jì) 算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言的一般步驟。 （ c）情態(tài)與價(jià)值

2、 1. 通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。 2. 在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力， 在利用算 法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力。 （ 2）教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。 難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言。 （ 3）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律， 并能 模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計(jì)出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程 序

3、 。 教學(xué)用具：電腦，計(jì)算器，圖形計(jì)算器 （ 4）教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1. 教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過求最大公約數(shù)的知識(shí)，你能求出 18 與 30 的公約數(shù)嗎？ 2. 接著教師進(jìn)一步提出問題， 我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)， 如果公約 數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù)，我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約 數(shù)？比如求 8251 與 6105 的最大公約數(shù)？這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。 （二）研探新知 1. 輾轉(zhuǎn)相除法 例 1 求兩個(gè)正數(shù) 8251 和 6105 的最大公約數(shù)。

4、 （分析： 8251 與 6105 兩數(shù)都比較大， 而且沒有明顯的公約數(shù)， 如能把它們都變小一點(diǎn)， 根據(jù)已有的知識(shí)即可求出最大公約數(shù)） 解： 8251＝ 6105 1＋ 2146 顯然 8251 的最大公約數(shù)也必是 2146 的約數(shù)，同樣 6105 與 2146 的公約數(shù)也必是 8251 的約數(shù)，所以 8251 與 6105 的最大公約數(shù)也是 6105 與 2146 的最大公約數(shù)。 6105＝ 21462＋ 1813 2146＝ 18131＋ 333 1813＝ 333 5＋ 148 333＝148 2＋37 148＝37 4＋0

5、 1 則 37 為 8251 與 6105 的最大公 數(shù)。 以上我 求最大公 數(shù)的方法就是 相除法。也叫歐幾里德算法， 它是由歐幾里德 在公元前 300 年左右首先提出的。利用 相除法求最大公 數(shù)的步 如 下： 第一步：用 大的數(shù) m除以 小的數(shù) n 得到一個(gè)商 q 和一個(gè)余數(shù) r ； 0 0 第二步：若 r 0＝ 0， n 為 m， n 的最大公 數(shù)；若 r 0≠ 0， 用除數(shù) n 除以余數(shù) r 0 得到 一個(gè)商

6、 q1 和一個(gè)余 數(shù) r 1； 第三步：若 r 1 ＝0， r 為 m，n 的最大公 數(shù)；若 r ≠ 0， 用除數(shù) r 0 除以余數(shù) r 得到 1 1 1 一個(gè)商 q 和一個(gè)余數(shù) r ； 2 2 ?? 依 次 算直至 r n＝ 0，此 所得到的 r n－ 1 即 所求的最大公 數(shù)。 ：利用 相除法求兩數(shù)

7、 4081 與 20723 的最大公 數(shù)（答案： 53） 2. 更相減 我國早期也有解決求最大公 數(shù) 的算法，就是更相減 。 更相減 求最大公 數(shù)的步 如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減 ，求其等也，以等數(shù) 之。 翻 出來 ： 第一步：任意 出兩個(gè)正數(shù)；判斷它 是否都是偶數(shù)。若是，用 2 ；若不是， 行 第二步。 第二步：以 大的數(shù)減去 小的數(shù)， 接著把 小的數(shù)與所得的差比 ， 并以大數(shù)減小數(shù)。 個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等 止， 個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公 數(shù)。 例 2 用更相減

8、求 98 與 63 的最大公 數(shù) . 解：由于 63 不是偶數(shù)，把 98 和 63 以大數(shù)減小數(shù)，并 相減 ，即： 98－ 63＝ 35 63－35＝ 28 35－28＝ 7 28－7＝ 21 21－7＝ 14 14－7＝ 7 所以， 98 與 63 的最大公 數(shù)是 7。 ：用更相 減 求兩個(gè)正數(shù) 84 與 72 的最大公 數(shù)。 （答案： 12） 3. 比 相除法與更相減 的區(qū) （ 1）都是求最大公 數(shù)的方法， 算上 相除法以除法 主，更相減 以減法 主， 算次數(shù)上 相除法 算次數(shù)相 少，

9、特 當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū) 大 算次數(shù)的區(qū) 明 。 （ 2）從 果體 形式來看， 相除法體 果是以相除余數(shù) 0 得到，而更相減 以減數(shù)與差相等而 得到 4. 相除法與更相減 算的程序框 及程序 利用 相除法與更相減 的 算算法 ，我 可以 出程序框 以及 BSAIC 程序 來在 算機(jī)上 相除法與更相減 求最大公 數(shù)， 下面由同學(xué) 相 框 并相 互之 框 與程序的正確性，并在 算機(jī)上 自己的 果。 （ 1） 相除法的程序框 及程序 程序框 ： 2

10、 開始 輸入兩個(gè)正 整數(shù) m， n m>n? 否 是 r=m MOD n 否 r=0? 是 輸出 n 結(jié)束 程序： INPUT “ m=”;m INPUT “ n=”;n IF m0 r=m MOD n m

11、=n n=r WEND PRINT m END 5. 課堂練習(xí) 一 . 用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大  x=n n=m m=x n=r m=n

12、 公約數(shù)，并在自己編寫的 BASIC 程序中驗(yàn)證。 3 （ 1）225； 135 （ 2）98； 196 （ 3） 72； 168 （4） 153；119 二 . 思考：用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述 4 組數(shù)的最大公約數(shù)？可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計(jì)出程序框圖及程序？若能，在電腦上測(cè)試自己的程序；若不能說明無法實(shí)現(xiàn)的理由。 三。思考：利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)？試設(shè)計(jì)程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在 BASIC中實(shí)現(xiàn)。 6. 小結(jié)： 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計(jì)算方法及完整算法程序的編寫。（ 5）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 作業(yè)： P38 A （1） B（ 2） 補(bǔ)充：設(shè)計(jì)更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖 4